El truco es el siguiente: Pedís a alguien que os escriba un número de cuatro cifras. En un papel aparte restáis 2 a esa cifra y le ponéis un 2 delante:

Ejemplo: Si escriben 2435 vosotros escribiréis 22433

Escribís el número aparte, sin que nadie os vea. Después pedís a alguien que escriba otro número de 4 cifras debajo. Una vez hecho esto, decís que el siguiente lo vais a escribir vosotros. Tenéis que completar con nueves (es decir, hacer que la suma de vuestra cifra y la anterior de todo nueves).

Ejemplo: Si el primer número que han puesto es el 2435 y el segundo el 2354

2435
2354
7645

Hemos puesto el 7645 porque 7+2=9, 6+3=9, 5+4=9 y 4+5=9. Tenéis que ponerlo simulando que lo ponéis al azar.

Una vez hecho esto, repetimos la operación otra vez, decimos que pongan otro número de cuatro cifras debajo, y nosotros volvemos a poner otro completando a nueves con el anterior

2435
2354
7645
4278
5721

Ahora viene lo bueno: decimos a alguien que sume toda la columna. El resultado será el número que previamente habíamos copiado en un papel. Consejo: verificar antes porque casi todo el mundo se equivoca al hacer la suma.

Explicación: No tiene nada de misterioso. Fijémonos en los pares 2-3 y 4-5 de la columna. Ambos suman 9999, por lo que los 4 suman 19.998. Es decir, 20.000 menos 2. Sumado a la primer cifra es lo mismo que restarle 2 y ponerle un 2 delante.

 


 

Este truco esta bien, es bastante sencillo, pero no es un truco que se pueda improvisar en un momento, a no ser que tengáis una gran capacidad de cálculo o una memoria prodigiosa. El truco es el siguiente: debeis enseñar las siguientes columnas.

1 9   2 10   4 12   8 12
3 11   3 11   5 13   9 13
5 13   6 14   6 14   10 14
7 15   7 15   7 15   11 15

Pedir a alguien que piense en un número del 1 al 15. Pedir que os señale en cuales de las cuatro columnas aparece ese número. Para adivinar el número solo tendréis que sumar los números marcados en rojo de las columnas que os señalen.

Ejemplo: Si han pensado en el número 7, os señalarán las tres primeras columnas, sumando los tres números rojos, tendréis 1+2+4=7.

Explicación: En la primera carta están todos los números cuyo último dígito en el sistema binario es 1; la segunda contiene todos los números cuyo segundo dígito por la derecha es 1 (en el sistema binario), la tercera y la cuarta lo mismo. Los números marcados en rojo son las potencias de 2. Por lo tanto, cuando os señalan las columnas, os están indicando el desarrollo en binario del número elegido (aunque ellos no lo sepan).

EL TELÉFONO


Ahora escriba el número del teléfono, que lo multiplique por 10, y sume 1998 (si lo hace con la calculadora siempre el =), que lo divida por 2, y le reste el año en el que estamos viviendo (2001); Pídale el resultado y sume 1.002, y por último dividido entre 5. Y ese será el número telefónico.

 

LA EDAD Y EL MES


Solicite que escriba el número del mes del nacimiento y que lo multiplique por 2. Que al resultado, le sume 5 y que a este último lo multiplique por 50 y que le sume la edad. Solicite el resultado y a este réstele 250. El resultado final dará: las dos últimas cifras, la edad y la primera o primeras, el número del mes de nacimiento.

 

¿CUÁL NÚMERO LE GUSTA?


Dígale que escriba un número cualquiera. Que sume las cifras entre sí y que reste este último resultado al número escrito por él. Pídale, enseguida, que tache la cifra que más le guste del resultado, y solicítele el número que quedó después de esta operación. Usted debe sumar mentalmente entre sí las cifras de ese número. Lleve este resultado a un solo dígito (sume), y este dígito réstelo a la "cifra clave" 9. El residuo será la cifra que tachó el jugador.

 

¿CUÁNTO TIENE, CUÁNTO VALE?


Dígale que escriba la cantidad de dinero que posee en el bolsillo, que multiplique esta cifra por 10 y que al resultado sume 25; que le sume el número de hermanas que tenga y esta cifra la multiplique por 10; que al resultado le sume el número de hermanos, y pídale el resultado. A este número reste 250, y el resultado será: la última cifra, el número de hermanos del jugador; la penúltima, el número de hermanas y las primeras, la cantidad de dinero que tiene en el bolsillo.

 

Pida a un amigo que escriba un número de dos cifras en secreto, que lo multiplique por 10 y del resultado reste un múltiplo de 9 inferior o igual a 81. Pídale el resultado. Si es de tres cifras, tome las dos primeras y sume la última; si son dos, súmelas entre sí, el resultado que de es el número secreto.

 

Ahora que escriba el año en que nació. Dígale que lo multiplique por 2 y que al resultado le sume 1. Que esta cifra la multiplique por 5, que al resultado le sume 5, que multiplique lo que tenga por 10. En este punto pídale el resultado, y a éste usted mentalmente le resta 100. Luego dividido en 100 y el resultado será el año.

 

Dígale a su amigo que escriba la cantidad de dinero que posee, que multiplique esta cifra por 10 y que al resultado le sume 25, que le sume el número de hermanos. Pida el resultado y a éste reste 250, el resultado será: la última cifra, el número de hermanos de su amigo; la penúltima, el número de hermanas y las siguientes las cantidad de dinero.

 

Pídale ahora el número que le gusta jugar a la lotería, que reste 1 y el resultado lo multiplique por 2. Sume de nuevo el número de lotería. Solicite el resultado final para adivinar el número de lotería. Al resultado final súmele 2 y divídalo por 3. Será el número de lotería.

 

NÚMEROS

        Problemas sobre números, curiosidades numéricas, etc.

 1.  NINGÚN Nº PRIMO. En la decena: 531, 532, ..., 540, no hay ningún número primo. ¿Podría Vd. encontrar una decena menor en la que tampoco haya ningún número primo?

 2.  FRACCIONES EXTRAÑAS. ¿Qué tienen de extraño las siguientes fracciones: 19/95, 26/65, 16/64?

 3.  TODOS LOS PRIMOS. Los números primos detectados hasta ahora son muchísimos, pero hay una cantidad finita de ellos. Multipliquémoslos todos entre sí. No, no se ponga a multiplicar; imagine que alguien ya hizo esa multiplicación por Vd. Llamemos al resultado P.
        a) ¿Con qué cifra del 0 al 9 termina P?
        b) La segunda cifra (la de las decenas), ¿es par o impar?

 4.  ¿QUE NÚMERO SOY? Soy capicúa, del 2 al 10 sólo hay un divisor mío, tengo cuatro cifras, pero algunos me ven como si fuera un 9. ¿Qué número soy?

 5.  DIVISIONES EXACTAS. Escoge un número de tres cifras y forma otro repitiendo el primero. Por ejemplo: 234234. Divide este número entre 7; después el cociente entre 11 y, por último, el nuevo cociente entre 13. Obtienes divisiones parciales exactas y al final tu número inicial, ¿verdad? ¿Por qué?

 6.  LA BASE DESCONOCIDA. Mi  hijo ha aprendido a contar según una base no decimal, de manera que en lugar de escribir 136 escribe 253. ¿Cuál es esta base?

 7.  MENOR NÚMERO. ¿Cuál es el menor número que, dividido por 2, 3, 4, 5 y 6 da respectivamente los restos 1, 2, 3, 4 y 5?

 8.  PACIENCIA Y PROGRESIÓN. Las nueve cifras de los tres números  abc  def  ghi  son distintas. El segundo es el doble del primero, y el tercero es triple del primero. Encontrar los tres números.

 9.  PRODUCTO DE CUATRO ENTEROS CONSECUTIVOS. El producto de cuatro números enteros consecutivos es 3.024. ¿Cuáles son estos números?

10.  EL MENOR CON X DIVISORES. ¿Cuál es el menor número con 7 divisores y no más? ¿Y, con 8 divisores?

11.    LA CIFRA BORROSA. Al hacer el siguiente producto:

15 x 14 x 13 x 12 x 11 x 10 x 9 x 8 x 7 x 6 x 5 x 4 x 3 x 2
         y tomar nota del resultado:  1 3 0 7 X 7 4 3 6 8 0 0 0  una de las cifras (la 5ª) quedó borrosa y no sabemos exactamente cuál es. ¿Podría Vd. averiguarla, sin necesidad de repetir la operación?

12.    ACERCA DE LOS PRIMOS. Encontrar 10 números consecutivos que no sean primos.

13.    EL GRAN DESFILE. Treinta soldados pueden desfilar de 1 en 1, de 2 en 2, de 3 en 3, de 5 en 5, de 6 en 6, de 10 en 10, de 15 en 15 y los 30 enfilados; es decir; de 8 formas diferentes sin que existan números desiguales de soldados en las líneas. ¿Cuál es el menor número de soldados que debe tener una compañía para poder desfilar de 64 formas diferentes?

14.    CON 4 TRESES. Empleando cuatro treses (ni más ni menos) y las operaciones habituales: (+, -, x, /,  , !, potencias, etc.) expresar todos los números del 1 al 10.
         Se puede usar la notación anglosajona 0'3=.3=3/10. También se admite: 0,3 período=0,3333...=3/9.

15.    CON 4 CINCOS. Empleando cuatro cincos (ni más ni menos) y las operaciones habituales: (+, -, x, /,  , !, potencias, etc.) expresar todos los números del 1 al 10.
         Se puede usar la notación anglosajona 0'5=.5=5/10. También se admite: 0,5 período=0,5555...=5/9.

16.    ESCRITURA DEL CIEN (1). Escribe el número 100 con nueve cifras idénticas. Éstas sólo podrán estar separadas por los signos matemáticos +, -, x, : y ( ).

17.    EL MAYOR PRODUCTO. Con las cifras 1, 2, 3, 4, 5 y 6 escribe dos números de tres cifras cada uno cuyo producto sea lo mayor posible. Hay que usarlas todas.

18.    SUMA POR PRODUCTO. Encontrar dos números tales que el producto de la suma por el producto sea igual a 29.400.

19.    BUSCANDO UN DIVISOR. Buscar un divisor distinto de él mismo y de la unidad del número 11.111.111.111.111.111 (hay 17 unos).

20.    MAYOR Y MENOR MÚLTIPLOS DE 11. ¿Cuál es el mayor  múltiplo de 11 formado por las nueve cifras significativas sin que se repita ninguna? ¿Y el menor?

21.  EL NUMERO 1.089. Tomamos un número de tres cifras, de modo que no sean las tres iguales; por ejemplo 637. A continuación formamos otro número, ordenando las cifras de mayor a menor. Resulta 763. Formamos otro, ordenándolas de menor a mayor. Resulta 367. Restamos 763 - 367 = 396. A este último número le damos la vuelta, 693, y sumamos los dos últimos: 693 + 396 = 1.089.
         Repetimos con 475 ----> 754 - 457 = 297, 297 + 792 = 1.089.
         ¿Qué misterio es éste? ¿Será verdad que partiendo de cualquier número resulta siempre 1.089? ¿Por qué?

22.  EL NÚMERO MÁGICO 495. Escoge un número cualquiera de tres cifras, no todas iguales; por ejemplo, 373. Construye otro ordenando sus cifras de mayor a menor: 733. Ahora las ordenas de menor a mayor: 337. Resta: 733-337=396. Repite la operación unas cuantas veces con este resultado y los sucesivos. ¿Qué observas? ¿Qué pasa con un número de dos o cuatro cifras al hacer un proceso semejante? ¿Cuál es la razón?

23.  EL MÁGICO NUMERO 68. Consiga una hoja de papel, recorte de ella un cuadrado de aproximadamente 20 centímetros de lado. Doble el papel al medio cuatro veces, de modo que al desdoblarlo los pliegues formen una cuadrícula de 16 cuadrados pequeños. Ahora marque bien cada pliegue hacia adelante y hacia atrás, para que el papel se doble fácilmente en cualquier dirección. Numere los cuadrados de 1 a 16 como se muestra en la ilustración:

1 2 3 4
5 6 7 8
9 10 11 12
13 14 15 16

         Doble el papel a lo largo de los pliegues hasta que quede del tamaño de uno de los cuadrados pequeños. Su modo de doblarlo puede ser tan complicado como quiera; puede incluso meter pliegues dentro de pliegues.
         Teme unas tijeras y corte los cuatro bordes del paquete final para que le queden 16 cuadrados separados. Algunos de los cuadrados tendrán un número arriba, otros un número abajo. Sin dar la vuelta a ninguno de los cuadrados, desparrámelos sobre la mesa. Sume todos los números que hayan quedado boca arriba y escriba el resultado. El número que Vd. ha escrito, ¿será el 68? ¡Qué extraña coincidencia! ¿Verdad?

24.  SIMPLIFICACIONES ESCANDALOSAS. Ocurrió el 18 de noviembre de 1994 en una clase de Matemáticas de 1º de BUP de un instituto de Salamanca.
      Profesor de matemáticas: Simplifica la fracción 26666/66665.
      Alumno: Quito un 6 del numerador y otro del denominador y queda 2666/6665.
      Profesor: Está bien. Pero puedes hacer algo mejor.
      Alumno: Es cierto; todavía puedo simplificar tres veces el 6 y quedará: 26666/66665 = 2666/6665 = 266/665 = 26/65 = 2/5.
      Profesor: ¡Bravo! ¡Te pongo un diez! ¡Puedes sentarte!
      Profesor: (Dirigiéndose a toda la clase) El método de simplificación empleado por vuestro compañero es poco ortodoxo y sin embargo los resultados son exactos. Encontrar una fracción de la misma forma  que pueda simplificarse de la misma manera y que sea equivalente a 1/2. Otra equivalente a 1/4. Otra equivalente a 1/5. ¿Qué relación cumplen a, b y c en las fracciones que pueden simplificarse de la forma indicada?

25.  CURIOSA PROPIEDAD (1). 173=4.913. Si ahora sumamos las cifras del resultado 4+9+1+3, volvemos a tener el 17. Lo mismo ocurre con el 18. 183=5.832. 5+8+3+2=18. No muy lejos de ellos hay otros dos números, consecutivos, cada uno de los cuales goza de la misma propiedad. ¿Cuáles son?

26.  CON LAS CIFRAS DEL 1 AL 9. Los números del 2 al 9 pueden ser expresados como fracciones en las cuales cada dígito, excepto el 0, aparece una y sólo una vez. Por ejemplo: 2=13458/6729, 4=15768/3942. Encuentre fracciones similares que den por resultado 3, 5, 6, 7, 8 y 9.

27.  CURIOSA PROPIEDAD (2). 12²=144, 21²=441. 13²=169, 31²=961. Encontrar otro número de dos cifras que cumpla la misma propiedad.

28.  DELANTE Y DETRÁS. En el resultado del producto 41096 x 83 = 3410968 se ha colocado el 3 delante y el 8 detrás y el producto es correcto. Encontrar otros productos que produzcan el mismo efecto, con el multiplicador de dos dígitos y el multiplicando con las cifras que se quiera.

29.    CURIOSA PERSISTENCIA DEL 5.
         8 - 3 = 5
        78 - 23 = 55
        778 - 223 = 555
        7778 -  2223 = 5555
        ...................
        82 - 32 = 55
        782 - 232 = 55 555
        7782 - 2232 = 555 555
        77782 - 22232 = 55 555 555
        ..........................

30.    NOTABLE SUCESIÓN DE CUADRADOS.
         12 = 1
         112  = 121
         1112  = 12321
         11112  = 1234321
         111112  = 123454321
         1111112  = 12345654321
         11111112  = 1234567654321
         111111112  = 123456787654321
         1111111112  = 12345678987654321
         92  = 81
         992  = 9801
         9992  = 998001
         99992  = 99980001
         999992  = 9999800001
         9999992  = 999998000001
         99999992  = 99999980000001
         999999992  = 9999999800000001
         9999999992  = 999999998000000001

31.    ESCRITURA DEL CIEN (2). Escribe el número 100 empleando cinco cifras iguales. Éstas sólo podrán estar separadas por los signos matemáticos +, -, x, : y ( ).

32.    EL NÚMERO 25.
         1.    El producto de cualquier número entero por 100 da como resultado el citado número con dos ceros más a su derecha.
         2.    El cociente de 100 entre 4 da como resultado el número 25.
         3.    El producto de cualquier número por 25 se puede obtener dividiendo entre 4 el citado número con dos ceros más a su derecha.
       Ejemplo:  357419 x 25 = 8935475.  Lo hemos obtenido así: 35741900 : 4 = 8935475.

33.    EL NÚMERO 142.857.143.
         1.    El producto de cualquier número de 9 cifras por 1.000.000.001 da como resultado el citado número de 9 cifras duplicado.
         2.    El cociente de 1.000.000.001 entre 7 da como resultado el número 142.857.143.
         3.    El producto de cualquier número de 9 cifras por el 142.857.143 se puede obtener dividiendo el citado número de 9 cifras duplicado entre 7.
        Ejemplo.                       987.542.937
                                           x  142.857.143
                              ------------------------------
                                     . . . . . . . . . . . . . . .
                                  . . . . . . . . . . . . . . .
                               . . . . . . . . . . . . . . .
                            . . . . . . . . . . . . . . .
                         . . . . . . . . . . . . . . .
                      . . . . . . . . . . . . . . .
                   . . . . . . . . . . . . . . .
                . . . . . . . . . . . . . . .
             . . . . . . . . . . . . . . .
         -------------------------------------------
         1 4 1 0 7 7 5 6 2 5 6 9 6 4 8 9 9 1
         Lo hemos obtenido así:  987.542.937.987.542.937 : 7 = 141.077.562.569.648.991

34.    MÉTODO ÁRABE DE MULTIPLICACIÓN. Todavía lo practican algunos árabes de ciertas regiones. En el ejemplo se muestra el producto de 346 x 2674 = 925204.

 
         Realiza por este método los siguientes productos: a) 789 x 1358.  b) 5432 x 9876.  c) 1234 x 56789.

35.    ERROR MECANOGRÁFICO. Una mecanógrafa inexperta estaba copiando un libro de matemáticas, donde debía escribir  5423, escribió 5423, que es muy distinto. ¿Podría Vd. encontrar otras cuatro cifras, para que ambos modos de escribir signifiquen el mismo número? (En este caso el error mecanográfico no hubiese tenido importancia en el resultado).

36.  AÑO DE NACIMIENTO. Restad a vuestro año de nacimiento la suma de las cuatro cifras que lo componen. Obtendréis así un resultado divisible por 9. ¿Por qué?

37.    MÚLTIPLO DE 9. ¿Qué condición ha de cumplir un número para que al restarle la suma de sus cifras el resultado sea múltiplo de 9?

38.  FECHAS INDETERMINADAS. En España, fechas como 6 de diciembre de 1977 suelen abreviarse 6-12-77; pero en otros países, como EE.UU., se da primero el mes y luego el día, escribiéndose 12-6-77. Si desconociésemos cuál de ambos sistemas se ha utilizado, ¿cuántas fechas quedarían indeterminadas en la notación abreviada?

39.  OBREROS DE SIEMPRE. Dos albañiles se reparten en dos partes, no exactamente iguales, pero semejantes, a ojo de buen cubero, un montón de 100 ladrillos. El primero los va disponiendo en hileras de 5 ladrillos, y el segundo los coloca en columnas de 7 ladrillos. Cuando terminan su montón al primero le quedan dos ladrillos sin colocar, y al segundo le han sobrado 4. ¿Cuántos ladrillos había tomado cada uno?

40.  VENTA DE PELOTAS. Por la venta de una partida de pelotas un señor obtiene 60.377 ptas. El precio de cada pelota fue inferior a 200 ptas. ¿Cuántas pelotas vendió?

41.  EL NÚMERO MÁGICO 481. Escoge un número cualquiera de dos cifras, por ejemplo, 26. Construye el número siguiente: 26 + 26x20 = 546. Ahora, el número 546 le multiplicamos por el dicho 481: 546x481 = ... ¿Qué se obtiene?
      Otro ejemplo: 47 + 47x20 = 987. Ahora: 987x481 = ... ¿Qué se obtiene?

42.  CUADRADO PERFECTO. Hallar una base de numeración distinta de 10 en la que 121 sea cuadrado perfecto.

43.  EL MENOR TRIPLETE. Hallar el menor triplete de números enteros tales que el mayor sea múltiplo del menor y que sus tres cuadrados estén en progresión aritmética.

44.  QUINTA POTENCIA DE UN Nº. Halla el número n sabiendo que n5 es un número de 7 cifras acabado en 7.

45.  A BUEN FIN, MEJOR PRINCIPIO. ¿En qué cifra termina 783578?

46.  TRES AGUJAS EN UN PAJAR. El número primo 37 es un divisor de 999. ¿Puede Vd. encontrar tres números más que tengan todas sus cifras iguales y sean múltiplos de 37?

47.  CABRAS Y OVEJAS. Un campesino tenía un rebaño de animales formado por cabras y ovejas. El número de ovejas multiplicado por el número de cabras da un producto que reflejado en el espejo, muestra el número de animales del rebaño. ¿Cuántos animales de cada clase hay en el rebaño?

48.  A²+2=B3. Hallar un cuadrado que se convierta en un cubo al sumarle 2.

49.  EL CORRAL DE PALOMO. El carpintero que construyó el corral para las ovejas de Palomo descubrió que podía ahorrarse dos postes si el campo a cercar fuera cuadrado en lugar de rectangular.
         De cualquiera de las dos maneras servirá para el mismo número de ovejas, pero si es cuadrado habrá un poste donde atar a cada oveja.
         ¿Cuántas ovejas había en el famoso rebaño?
         Se supone que en ambas forman los postes estaban separados por iguales distancias, que las áreas del corral cuadrado y del rectangular eran iguales, y que el rebaño estaba formado por menos de tres docenas de ovejas.

50.  EL REBAÑO MÁS PEQUEÑO. Un granjero que tiene un rebaño de ovejas muy numeroso descubre una gran singularidad con respecto a su número. Si las cuenta de dos en dos, le sobra 1. Lo mismo ocurre cuando las cuenta de 3 en 3, de 4 en 4, etc.... hasta de 10 en 10. ¿Cuál es el rebaño más pequeño que se ajusta a estas condiciones?

51.  EL NÚMERO MÁGICO 153. En el evangelio, según San Juan, (cap. 21, versículo 11), se lee que: «Los discípulos no habiendo pescado nada durante la noche se disponían a abandonar la tarea, cuando siguiendo el consejo de Jesús, echaron de nuevo la red, la cual cuando Simón Pedro, la levantó y la trajo a tierra estaba llena de grandes peces en número 153 y siendo tantos la red no se rompió». Por esto el número 153 se consideró en la antigüedad como número mágico, buscándose distintas propiedades del mismo. Por ejemplo:
         Es un número triangular: 1 + 2 + 3 + ... + 17 = 153.
         1! + 2! + 3! + 4! + 5! = 153.
         13+ 33 + 53 = 153.
         Si se parte de un número natural cualquiera que sea múltiplo de 3 y se suman los cubos de sus cifras. Al resultado, que será también un múltiplo de 3, se aplica la misma operación. Continuando de esta manera se llegará al número 153. Ejemplos:
         252 - 141 - 66 - 432 - 99 - 1458 - 702 - 351 - 153.
         1998 - 1971 - 1074 - 408 - 576 - 684 - 792 - 108 - 513 - 153.
         Por eso se dice que el número 153 es un agujero negro (respecto de la suma de los cubos de sus cifras) en el sentido de que al llegar a él ya no se puede salir más.

52.  MAYOR CUADRADO. ¿Cuál es el mayor cuadrado que se puede escribir con las diez cifras tomadas una vez cada una?

53.  ¿SERÁ CUADRADO? ¿Puede ser cuadrado un número formado con las nueve cifras significativas en un orden cualquiera?

54.  LA CIFRA PERDIDA. El producto de 53.928.719.937 por 376.648 es 20312144*06831176. ¿Puede hallar Vd. la cifra que falta sin efectuar la multiplicación?

55.  LOS REPOLLOS DE LA SEÑORA GARCÍA. La señora García tiene ahora una plantación cuadrada de repollos más grande que la que tenía el año pasado, y que por lo tanto tendrá 211 repollos más. ¿Cuántos matemáticos y agricultores lograrán determinar el número de repollos que tendrá este año la señora García?

56.  REGALO MILLONARIO. Imaginemos que un millonario se ofrece a regalarle a Vd. las monedas de una peseta que sea capaz de llevarse, a condición de contarlas una por una y sin detenerse. Podrá Vd. llevarse todas las que haya contado hasta que se pare. Supongamos que cuenta una moneda por segundo. ¿Cuántas cree Vd. que podrá llevarse en realidad?

57.  MONETARIO. En la República de Bizarria existe un curioso sistema monetario. Tienen allí solamente dos valores de monedas, de 7 centavos y de 10 centavos. La pregunta que hacemos también es extraña pero admite una solución simple. ¿Cuál es la mayor suma de centavos que no se puede abonar exactamente con tales monedas?

58.  SE LLEGA SIEMPRE AL 1. Toma un número natural cualquiera. Si es impar multiplícalo por 3 y añádele 1. Si es par, toma la mitad. Repitiendo la operación sucesivamente se llega siempre al número 1. Así:
         12 - 6 - 3 - 10 - 5 - 16 - 8 - 4 - 2 - 1.
         100 - 50 - 25 - 76 - 38 - 19 - 58 - 29 - 88 - 44 - 22 - 11 - 34 - 17 - 52 - 26 - 13 - 40 - 20 - 10 - 5 - 16 - 8 - 4 - 2 - 1.
         Esto ha sido comprobado con calculadoras hasta números muy grandes, pero no se tiene una demostración de que el hecho sea general.

59.  SOBRE NÚMEROS DE DOS CIFRAS. ¿Qué número de dos cifras es el cuadrado de la cifra de sus unidades?

60.  SIEMPRE EXACTO: Encontrar los menores 9 números consecutivos (mayores que 10), el primero terminado en 1 y el mayor terminado en 9, de manera que al dividirse por su última cifra el resultado de siempre exacto. Ejemplo: 31/1 sí, 32/2 sí, 33/3 sí, 34/4 no, 35/5 sí, 36/6 sí, 37/7 no, 38/8 no, y 39/9 no.

61.  FECHAS CAPICÚAS. El día 18 de septiembre de 1981, en una emisora de radio, el presentador cayó en la cuenta de que tal fecha (18-9-81) era capicúa. Esto le dio lugar a lanzar en antena la siguiente pregunta: ¿Cuáles son las dos fechas capicúas más cercanas entre sí del siglo XX? ¿Podrá Vd. adivinarlas?

62. TRES ENTEROS CONSECUTIVOS. ¿Qué tres números enteros consecutivos y positivos, multiplicados entre sí, dan un total igual a quince veces el segundo de ellos?

63.  VAYA BOLETO. El otro día compré un boleto de lotería capicúa. Si sumaba sus cinco cifras daba el mismo resultado que si las multiplicaba. La primera cifra de la izquierda era la edad de mi hermana pequeña, las dos siguientes la edad de la mediana, y las dos últimas la edad de la mayor, que le lleva más de un año a la mediana. ¿Cuál era la numeración del boleto?

64.  MCD y mcm. Hallar dos números enteros positivos, x e y, tales que el producto de su MCD y su mcm sea el producto xy.

65.  EL TELÉFONO DE MI COLEGA. Le pedí a mi colega Sátur su número de teléfono. Como es profesor de matemáticas me contestó diciendo: «El número que forman las cifras de las posiciones 4 y 5 es un cuadrado perfecto, al igual que el de las posiciones 5 y 6 y el de las posiciones 6 y 7. La tres primeras cifras forman un cubo perfecto, igual al producto de los otros cuatro dígitos». ¿Podría Vd. llamar por teléfono a mi colega Sátur?

66.  FACILEMA. ¿Cuál es el número de dos cifras que es igual al doble del producto de sus cifras?

67.  PAR = DIEZ. Si el par es diez, ¿cuál es la decena?

68.  CURIOSA RAÍZ CUADRADA. Calcula la raíz cuadrada del número 123.456.789. Observa el resultado y el resto.

69.  NUMEROS PRIMOS. Demostrar que hay infinitos números primos.

70.  PRODUCTOS QUE SE ESCRIBEN CON UNA SOLA CIFRA (1). Una propiedad muy conocida del número 12.345.679 es que al multiplicarlo por 9 da un producto que se escribe con sólo la cifra 1, esto es el número 111.111.111. Por lo tanto al multiplicarlo por 18 (que es 9x2), por 27 (que es 9x3), por 36, etc., se obtienen también productos notables, a saber:
         12.345.679 x  9 = 111.111.111
         12.345.679 x 18 = 222.222.222
         12.345.679 x 27 = 333.333.333
         12.345.679 x 36 = 444.444.444
         12.345.679 x 45 = 555.555.555
         12.345.679 x 54 = 666.666.666
         12.345.679 x 63 = 777.777.777
         12.345.679 x 72 = 888.888.888
         12.345.679 x 81 = 999.999.999

71.  PRODUCTOS QUE SE ESCRIBEN CON UNA SOLA CIFRA (2). De no conocer el multiplicando, podríamos haber intentado hallarlo sin más que dividir por 9 el número 11111..., bajando después de cada resto un uno, en vez de un cero, hasta que la división fuese exacta.
         Investiguemos, de este modo, cuál es el número que multiplicado por 7, da un producto escrito sólo con las cifras 1:
         111.111 : 7 = 15873. Por consiguiente, resultará:
         15.873 x  7 = 111.111
         15.873 x 14 = 222.222
         15.873 x 21 = 333.333
         15.873 x 28 = 444.444
         15.873 x 35 = 555.555
         15.873 x 42 = 666.666
         15.873 x 49 = 777.777
         15.873 x 56 = 888.888
         15.873 x 63 = 999.999

72.  PRODUCTOS QUE SE ESCRIBEN CON UNA SOLA CIFRA (3). ¿Cuál es el número que, multiplicado por 49 da un producto que se escribe con sólo las cifras 1?

73.  LOS 4 SON PRIMOS. ADDD, AACA, BCDB y BDAC son cuatro números primos. ¿Cuáles son?

74.  TRES CIFRAS Y EL 30. Es fácil escribir el 30 con tres seises: (30=6x6-6) ¿Se podrá hacer lo mismo con otras tres cifras iguales? Busca todas las soluciones.

75.  LA CONJETURA CAPICÚA. Para obtener un número capicúa a partir de otro número se invierte el orden de sus cifras y se suman el número dado y el invertido. Este proceso se continúa las veces que sean necesarias hasta obtener un capicúa. Por ejemplo:
         Partiendo del 78.
         78 + 87 = 165.
         165 + 561 = 726.
         726 + 627 = 1353.
         1353 + 3531 = 4884 CAPICÚA.
         La conjetura capicúa dice que, aplicando el proceso anterior a un número natural cualquiera, se obtiene un número capicúa en un número finito de pasos.
         Partiendo del número 89 es necesario dar 24 pasos para conseguir el número 8.813.200.023.188. ¿Existirá algún número que sea excepción de la conjetura? El matemático ruso Boris A. Kordemsky ensayó en computadoras con el número 196, sometiéndolo a miles y miles de pasos, y no ha conseguido todavía ningún número capicúa.
         Siguiendo los pasos anteriores halla los capicúas correspondientes a 84, 75 y 86.

76.  TIRO CON ARCO (1). ¿Cuántas flechas hacen falta para hacer justo cien puntos en el siguiente blanco? [40-39-24-23-17-16]

77.  TIRO CON ARCO (2). ¿Cuántas flechas hacen falta para hacer justo cien puntos en el siguiente blanco? [11-13-31-33-42-44-46]

78.  TRES CIFRAS Y EL 24. Es fácil escribir el 24 con tres ochos: (24=8+8+8). ¿Se podrá hacer lo mismo con otras tres cifras iguales? Busca todas las soluciones.

79.  SOLDADOS COMBATIVOS (1). Cierto número de soldados se dirigían a combatir formando un cuadrado. En el camino se les unió un extraño, y entonces formaron exactamente 13 cuadrados menores iguales. ¿Cuántos soldados fueron a la batalla?

80.  SOLDADOS COMBATIVOS (2). Cierto número de soldados se dirigían a combatir formando un cuadrado. En el camino se les unió un extraño, y entonces formaron exactamente 113 cuadrados menores iguales. ¿Cuántos soldados fueron a la batalla?

81.  EL NÚMERO 987.654.321. Con el número 987.654.321 se obtienen productos con todas sus cifras, más el 0, permutadas:
         987.654.321 x 2 = 1.975.308.642
         987.654.321 x 3 = 2...................3
         987.654.321 x 4 = 3...................4
         987.654.321 x 5 = 4...................5
         987.654.321 x 6 = 5...................6
         987.654.321 x 7 = 6...................7
         987.654.321 x 8 = 7...................8

82.  DEL TEOREMA DE FERMAT. La revista Time del 7 de marzo de 1938 daba cuenta de que un tal Samuel Isaac Krieger afirmaba haber descubierto un contraejemplo para el teorema magno de Fermat, que sigue en nuestros días pendiente de confirmación. Krieger hizo saber que su ejemplo era de la forma 1324n + 791n = 1961n, siendo n un cierto entero positivo mayor que 2, que Krieger se negaba a revelar. Un periodista del New York Times, decía Time, pudo demostrar fácilmente que Krieger estaba equivocado. ¿De qué manera?.

83.  A LA CAZA DEL 53. Con 5 cincos, 3 treses y los signos matemáticos +, -, x, : y () formar expresiones matemáticas que sean igual a 53.

84.  DIANA (1). En una diana están los números 1, 2, 3, 5, 10, 20, 25 y 50. ¿Cómo se pueden conseguir 96 puntos con tres dobles?

85.  DIANA (2). En una diana están los números 3, 5, 11, 13 y 19. ¿Cómo se pueden conseguir 50 puntos con el menor número de impactos?

86.  DIANA (3). En una diana están los números 8, 9, 16, 17 y 19. ¿Cómo se pueden conseguir 100 puntos con el menor número de impactos?

87.  DIANA (4). En una diana están los números 7, 9, 11, 17 y 19. ¿Cómo se pueden conseguir 100 puntos con seis impactos?

88.  AABB=(CD)². Hallar un cuadrado de la forma N = aabb.

89.  ABCD = (CD)². Hallar un número de cuatro cifras que sea el cuadrado del número formado por sus dos últimas cifras.

90.  A²+B²+C²=D². Hallar tres cuadrados cuya suma sea otro cuadrado.

91.  A3+B3+C3=D3. Hallar tres cubos cuya suma sea un cubo.

92.  A²+(A+1)²=B4. Hallar dos números consecutivos tales que la suma de sus cuadrados sea una potencia de 4.

93.  PRODUCTOS SIN REPETIR CIFRA. Los siguientes productos tienen la particularidad de que en cada uno de ellos entran cada una de las nueve primeras cifras significativas sólo una vez. [Pueden ser útiles para comprobar si lucen bien todas las cifras de una calculadora]
         483 x 12 = 5796
         138 x 42 = 5796
         297 x 18 = 5346
         198 x 27 = 5346
         ¿Podría encontrar Vd. alguno más?

94.  CUADRADOS SIN REPETIR CIFRA. Los siguientes cuadrados tienen todas sus cifras diferentes:
         132 = 169
         362 = 1296
         2862 = 81796
         3222 = 103684
         10272 = 1054729
         69012 = 47623801
         101242 = 102495376
         320432 = 1026753849
         ¿Podría encontrar Vd. alguno más?

95.  PRODUCTOS POR EL NÚMERO 8.
         1 x 8 + 1 = 9
         12 x 8 + 2 = 98
         123 x 8 + 3 = 987
         1234 x 8 + 4 = 9876
         12345 x 8 + 5 = 98765
         123456 x 8 + 6 = 987654
         1234567 x 8 + 7 = 9876543
         12345678 x 8 + 8 = 98765432
         123456789 x 8 + 9 = 987654321

96.  PRODUCTOS POR EL NÚMERO 9.
         1 x 9 +  2 = 1
         12 x 9 +  3 = 11
         123 x 9 +  4 = 111
         1234 x 9 +  5 = 1111
         12345 x 9 +  6 = 11111
         123456 x 9 +  7 = 111111
         1234567 x 9 +  8 = 1111111
         12345678 x 9 +  9 = 11111111
         123456789 x 9 + 10 = 111111111

97.  OTROS PRODUCTOS POR EL NÚMERO 9.
         0 x 9 +  8 = 8
         9 x 9 +  7 = 88
         98 x 9 +  6 = 888
         987 x 9 +  5 = 8888
         9876 x 9 +  4 = 88888
         98765 x 9 +  3 = 888888
         987654 x 9 +  2 = 8888888
         9876543 x 9 +  1 = 88888888
         98765432 x 9 +  0 = 888888888
         987654321 x 9 -  1 = 8888888888

98.  CON LAS CIFRAS DEL 0 AL 9 (1). Encontrar un número de diez cifras diferentes que, multiplicado por 2, dé otro número de diez cifras diferentes.

99.  CON LAS CIFRAS DEL 0 AL 9 (2). 3485x2 = 6970x1 = 6970, es el resultado menor que se puede obtener separando los diez dígitos en dos grupos para hacer dos productos que den el mismo resultado. Dividir los diez dígitos en dos grupos de cinco, y disponerlos para formar dos multiplicaciones que den el mismo producto y el más alto posible.
       Nota. Los segundos factores pueden tener dos cifras.

100.  CON LAS CIFRAS DEL 0 AL 9 (3). 78 x 345 = 26.910. Hay muchos conjuntos de números de dos, tres y cinco cifras respectivamente que tienen la particularidad mostrada en el ejemplo utilizando las diez cifras. Pero hay un conjunto, y sólo uno, en la que los números cuentan con la particularidad adicional de que el segundo es múltiplo del primero. ¿Cuáles son los tres números que buscamos?

101.  CURIOSOS CUADRADOS INVERTIDOS. Los siguientes pares de cuadrados perfectos y sus raíces están formados por las mismas cifras escritas en orden inverso:
           122 = 144,  212 = 441
           132 = 169,  312 = 961
           1222 = 14884,  2212 = 48841
           ¿Podría encontrar Vd. algunos más?
 

102.  DOBLE SUMA. En la figura adjunta aparecen los números del 1 al 9, distribuidos de un modo curioso: así como están forman una suma perfecta (583+146=729) y si Vd. gira la hoja noventa grados en sentido horario, forman otra suma perfecta (715+248=963). Encuentre otra disposición de los números que cumpla la misma condición.  

103.  CINCO CONSECUTIVOS. Encuentre Vd. cinco números naturales consecutivos tales que la suma de los cuadrados de los dos mayores sea igual a la suma de los cuadrados de los otros tres.

104.  ORDENANDO NÚMEROS. Ordenar los números del 1 al 9 de modo que el nombre de cada número tenga una y solamente una letra en común con el nombre del anterior.

105.  LA PROPORCIÓN MALIGNA. En el ejemplo se muestra una solución a la proporción a/b=c/d con las siguientes restricciones:
           - El número a ha de ser de una cifra, el b de dos cifras, el c de tres y el d de cuatro.
           - Entre los cuatro números no se puede repetir ninguna cifra. Es decir, aparecerán las cifras 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, y 9 una vez y sólo una vez.
        Ejemplo: 1/26=345/8.970.
          ¿Habrá muchas más?

106.  BILLETES CAPICÚAS. En la taquilla del tren hay un rollo de 100.000 billetes numerados del 00000 al 99999.
           a) ¿Cuántos capicúas tendrá el rollo?
           b) ¿Cuáles serán los que están más cerca entre sí?
           c) ¿Cuáles serán los que están más separados entre sí?
           d) ¿Cuál será la cantidad mínima de billetes ordenados que pueden albergar tres capicúas?
           e) ¿Cuál es la cantidad mínima de billetes que tenemos que comprar para estar seguros de que compramos tres capicúas?

107.  CINCO CIFRAS SEGUIDAS. Poner en lugar de los * cinco cifras consecutivas (aunque no hace falta ponerlas en orden) para que se verifique la igualdad: * * x * = * *

108.  SENCILLO, DOBLE Y TRIPLE. Se han acomodado los números del 1 al 9 en un cuadrado 3x3 con las siguientes condiciones:

1 9 2
3 8 4
5 7 6
           - El número de tres cifras de la segunda fila (384) es el doble que el de la primera (192).
           - El de la tercera fila (576) es el triple que el de la primera (192).
           ¿Será Vd. capaz de encontrar otras disposiciones con esas mismas condiciones?
           Para animarle le doy otra: 219-438-657.

109.  EL TELÉFONO DE MI AMIGO EL VALENCIANO. Según mi amigo, es el único que no repite ninguna cifra, no contiene el cero, es par y además las dos primeras cifras constituyen un múltiplo de 2, las tres primeras un múltiplo de 3, y así sucesivamente hasta el total que es múltiplo de 7. ¿Cuál es el número de teléfono de mi amigo?
         Observación: En Valencia los teléfonos tienen 7 cifras y comienzan por 3.

110.  EL TELÉFONO DE MI AMIGO AMERICANO. Es de 10 cifras, la primera es múltiplo de 1, las dos primeras cifras forman un múltiplo de 2, las tres primeras un múltiplo de 3, las cuatro primeras un múltiplo de 4, etc. ¿Cuál es el número de teléfono de mi amigo americano?

111.  SUMAS EN TRIÁNGULO. Disponer los números naturales del 1 al 9 formando un triángulo y sumarlos. El número resultante de la suma ha de ser capicúa.
           Una posible solución sería:

8
9 6 4
1 7 5 3 2
-----------------
2 7 9 7 2
           ¿Podrá Vd. encontrar más?

112. PRODUCTOS CON LAS CIFRAS DEL 1 AL 9 (1). 159 x 48 = 7632. Encontrar otras parejas de números que, al multiplicarlos, aparecen en el resultado todos los dígitos una y sólo una vez.

113. PRODUCTOS CON LAS CIFRAS DEL 1 AL 9 (2). 16 583 742 x 9 = 149 253 678. Encontrar otros productos en los que todos los dígitos aparezcan una y sólo una vez a cada lado del signo igual.

114. PRODUCTOS CON LAS CIFRAS DEL 1 AL 9 (3). Con los nueve dígitos, sin repetirlos, formar tres números de tres dígitos, de manera que el producto de los tres dé un resultado formado también por los nueve dígitos, sin repetirse. Hay varias soluciones posibles, pero pedimos que encuentre dos: la que da el resultado máximo y la que da el resultado mínimo.

115. LOS UNOS Y LOS DOSES. Restando de 11 el 2 se obtiene 9 que es un cuadrado. Restando de 1111 el 22 se obtiene 1089 que también es un cuadrado perfecto. Lo curioso es que siempre que formemos un número con una cantidad par de unos y otro con la mitad de doses, al restar del primero el segundo obtenemos un cuadrado perfecto. ¿Cree Vd. que esta afirmación es cierta?

116. EL MENOR NÚMERO (2). ¿Cuál es el menor número que, dividido por 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8 y 9 da respectivamente los restos 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, y 8?

117. COLOCANDO SIGNOS. Coloque entre cada dos cifras el signo de la operación aritmética que sea necesario. Está permitido utilizar paréntesis.

(1  +  2)  :  3  =  1
1     2     3     4  =  1
1     2     3     4     5  =  1
1     2     3     4     5     6  =  1
1     2     3     4     5     6     7  =  1
1     2     3     4     5     6     7     8  =  1
1     2     3     4     5     6     7     8     9  =  1

 

 

SOLUCIONES  DE  NÚMEROS
(Última actualización:  FEBRERO-2001)

 1.  NINGÚN Nº PRIMO. 201, 202, ..., 210. Otras: 321, 322, ..., 330 y 511, 512, ..., 520.

 2.  FRACCIONES EXTRAÑAS. Quitando en cada caso, el número repetido, el resultado es el mismo: 19/95=1/5; 26/65=2/5; 16/64=1/4.

 3.  TODOS LOS PRIMOS. a) Termina en 0, porque P tiene los factores 2 y 5. b) La cifra de las decenas es impar; porque si fuera par, P sería múltiplo de 4, lo que es imposible.

 4.  ¿QUE NÚMERO SOY? El 1001 que en numeración binaria corresponde al 9.

 5.  DIVISIONES EXACTAS. 7 x 11 x 13 = 1001     > 234 x 1001 = 234234     > 234234 : 1001 = 234. Es decir, las dos únicas operaciones que hacemos son: 1ª) Multiplicar por 1001 el número de partida. 2ª) Dividir por 1001 de forma disfrazada. Obviamente debe dar el número de partida.
        abcabc = abc x 1001; abcabc/7x11x13 = abcabc/1001 = abc.

 6.  LA BASE DESCONOCIDA. Sea b la base desconocida. 2b²+5b+3=136. Resolviendo b=7.

 7.  MENOR NÚMERO. Sea n el número desconocido. Ya que n dividido por 2 da resto 1, n+1 es divisible por 2, ya que al dividir n por 3 da resto 2, n+1 es divisible por 3, etc. De la misma manera, n+1 es divisible por 4, 5 y 6. Ahora bien, el mínimo común múltiplo de 2, 3, 4, 5 y 6 es 60. Así: n+1=60. Luego n=59.

 8.  PACIENCIA Y PROGRESIÓN. 219,  438,  657.

 9.  PRODUCTO DE CUATRO ENTEROS CONSECUTIVOS. 3.024 no acaba ni en 0 ni en 5; luego ninguno de los cuatro números es divisible por 5 ni por 10. Si los números fueran mayores que 10, el producto sería mayor que 10.000. Luego solamente tenemos como posibles soluciones 1-2-3-4 y 6-7-8-9. Evidentemente los buscados son 6-7-8-9.

10.  EL MENOR CON X DIVISORES. Con 7 divisores 64. Con 8 divisores 24.

11.    LA CIFRA BORROSA. El resultado es múltiplo de cada uno de los factores. En particular de 11. Si aplicamos el criterio de divisibilidad por 11:
         Suma de las cifras pares: 3+7+7+3+8+0 = 28
         Suma de las cifras impares: 1+0+X+4+6+0+0+ = 11+X
         La diferencia de estas cantidades ha de ser 0, 11 o múltiplo de 11, la única posibilidad es que  X=6.
         Podríamos haber utilizado los criterios de divisibilidad por 3 o por 9; pero con ellos no siempre la solución es única.

12.    ACERCA DE LOS PRIMOS. Formando el factorial de 11, tenemos que: 11!+2 es divisible por 2, 11!+3 es divisible por 3, ..., 11!+10 es divisible por 10, 11!+11 es divisible por 11, ya que el factorial de 11 es divisible por 2,3,...,11, al ser factores suyos. Por lo tanto una solución (hay infinitas), es: 39916802, 39916803, ..., 39916811.

13.    EL GRAN DESFILE. Hay que hallar el menor número que tiene exactamente 64 divisores. El menor número es 7560 soldados. 7560 = 23 33 5 7. El número de divisores es: (3+1)(3+1)(1+1)(1+1) = 4 4 2 2 = 64.

14.    CON 4 TRESES.
         1 = 33/33 = 3-3+3/3,
         2 = 3/3+3/3,
         3 = (3+3+3)/3,
         4 = (3x3+3)/3,
         5 = 3+(3+3)/3,
         6 = 3+3+3-3=(3+3)x3/3,
         7 = 3+3+3/3,
         8 = 33/3-3,
         9 = 3x3x3/3,
         10 = 3x3+3/3.

15.    CON 4 CINCOS.
         1 = 55/55 = 5-5+5/5,
         2 = 5/5+5/5,
         3 = (5+5+5)/5,
         4 = (5x5-5)/5,
         5 = 5+(5-5)/5,
         6 = (5x5+5)/5,
         7 = 5+(5+5)/5,
         8 = 5!/(5+5+5),
         9 = 5+5-5/5,
         10 = (55-5)/5.

16.    ESCRITURA DEL CIEN (1).
         100 = 111-11+1-1+1-1
         100 = 22x2x2+2+(2x2x2)+2
         100 = 333:3-(3x3)-3+(3:3)
         100 = 444:4-4-4-4+(4:4)
         100 = 5x5x5-(5x5)+5-5+5-5
         100 = 66+(6x6)-[(6+6):6x(6:6)]
         100 = 7x7x (7+7):7+(7:7)+(7:7)
         100 = 88+8+[8x8x8:8:(8+8)]
         100 = (99+99):(9+9)x9+(9:9)

17.    EL MAYOR PRODUCTO. Por ensayo y error se llega a 631 x 542.

18.    SUMA POR PRODUCTO. 29.400 = 24 25 49. Los números buscados son 24 y 25.

19.    BUSCANDO UN DIVISOR. Las condiciones son sencillas, pero la tarea es terriblemente complicada. Solamente tiene dos divisores: 2.071.723 y 5.363.222.357, y su descubrimiento es una tarea sumamente ardua.

20.    MAYOR Y MENOR MÚLTIPLOS DE 11. Hay que recordar el criterio de divisibilidad por 11. Un número que cumpla el enunciado es, por ejemplo: 415.276.839.  Para encontrar el número mayor hay que tratar que la diferencia entre las cifras del lugar impar sea 0, (que no se puede) u 11. Así sale: 987.652.413. De forma similar el más pequeño es: 123.475.869.

21.  EL NUMERO 1.089.  Si las cifras del número inicial son a, b y c, con a mayor que c. Dicho número es: 110a+10b+c. Al invertir las cifras se obtiene: 100c+10b+a. Restándolos se obtiene: 100a-100c+c-a = 100a-100c-100+90+10+c-a = 100(a-c-1)+90+(10+c-a)         Invirtiendo sus cifras se obtiene: 100(10+c-a)+90+(a-c-1)
         Sumando los dos últimos sale: 900+180+9 = 1.089.

22.  EL NÚMERO MÁGICO 495. Se obtiene el número 495. Con dos cifras se obtiene el 9. Con cuatro cifras se obtiene el 6.174. La razón ..........

23.  EL MÁGICO NUMERO 68. ......

24.  SIMPLIFICACIONES ESCANDALOSAS.
         49999/99998 = 4999/9998 = 499/998 = 49/98 = 4/8 = 1/2.
         16666/66664 = 1666/6664 = 166/664 = 16/64 = 1/4.
         9999/99995 = 1999/9995 = 199/995 = 19/95 = 1/5.
         Sea n el número de las cifras b de la fracción.
         El numerador de la primera fracción es:
         a 10n + b (10n-1 + 10n-2 + ... + 1) = a 10n + b (10n-1)/9
         El denominador de la primera fracción es:
         b (10n + 10n-1 + ... + 10) + c = b 10 (10n-1)/9 + c
         Transportemos a la fracción e igualemos los productos de los extremos y de los medios:
         a 10n c + b (10n-1)/9 c = b 10 (10n-1)/9 a + c a
         9ac = 10ab - bc ===> b = 9ac/(10a-c) es la relación buscada.
       Curiosidad que viene a cuento: Simplificando la fracción (a2-b2)/(a-b) de la forma que suelen hacer algunos alumnos: «a2 entre a es a, menos entre menos es + y b2 entre b es b» se obtiene el resultado correcto (a+b).

25.  CURIOSA PROPIEDAD (1). El 26 y el 27. 263=17.576. 273=19.683.

26.  CON LAS CIFRAS DEL 1 AL 9. 3=17469/5823,  5=13485/2697,  6=17658/2943,  7=16758/2394, 8=25496/3187,  9=57429/6381.

27.  CURIOSA PROPIEDAD (2). El 11 y el 22.

28.  DELANTE Y DETRÁS. 8 x 86 = 688.
         1639344262295081967213114754098360655737704918032787 x 71 =
         116393442622950819672131147540983606557377049180327877.
         Los números 83, 86 y 71 son los únicos multiplicadores de dos dígitos que cumplen la condición, aunque el multiplicando puede aumentarse. Así, si prefijamos a 41096 el número 41095890, repetido cualquier número de veces, el resultado puede siempre multiplicarse por 83 de la forma dicha.

31.    ESCRITURA DEL CIEN (2).
         111 - 11 = 100
         33 x 3 + (3:3) = 100
         5x5x5 - 5x5 = (5+5+5+5) x 5 = 100

34.    MÉTODO ÁRABE DE MULTIPLICACIÓN. ...

35.    ERROR MECANOGRÁFICO.  2592 = 2592.
         Sea N=acba.
         a=1 se puede rechazar. a=2 daría: 2bc2=2bc2.
         Hágase la tabla de las primeras nueve potencias de 2 y los cuadrados de los primeros nueve números. El producto de los distintos elementos de las dos tablas ha de dar cuatro cifras y debe terminar en 2. Sólo se halla la solución: 2592 = 2592.
         Para a=3 se comprueba rápidamente que no tiene solución.

36. AÑO DE NACIMIENTO. Sea mcdu es el año de nacimiento.
 1000m + 100c + 10d + u - (m+c+d+u) = 999m + 99c + 9d que es múltiplo de 9.

37.    MÚLTIPLO DE 9. Ninguna. Es una propiedad general de los números naturales.
         Veamos para uno de tres cifras abc: 100a+10b+c-a-b-c=99a+9b=9(11a+b).

38.  FECHAS INDETERMINADAS. Cada mes tiene 11 fechas ambiguas (pues la fecha 8-8-77 no es ambigua, por lo que en total hay 11x12=132. [La fecha 8-8-77, también podría considerarse «ambigua», porque no se sabe si el primer 8 significa mes o día. En este caso la solución sería 12x12=144]

39.  OBREROS DE SIEMPRE. Por lo que hace a los restos, serían posibles estas soluciones: 82-18, 47-53, 12-88.
         La desigual distribución impide las soluciones extremas. Así: 47-53 es la buscada.

40.  VENTA DE PELOTAS. El número 60.377 ha de ser el producto del número de pelotas vendidas, por el precio de cada una, que será inferior a 200. Por consiguiente, hay que buscar un divisor de 60.377 menor que 200. Ahora bien, la última cifra del importe total siendo un 7 ha de provenir del producto de 1x7 ó de 3x9. No tenemos más que buscar algún número primo que termine en cualquiera de estas cifras, divida a 60.377 y sea menor que 200. El único es 173, y, por tanto, el número de pelotas vendidas 349.
         El problema hubiera sido indeterminado, si los factores primos del número dado hubiesen sido más numerosos y tales que dos al menos fuesen inferiores a 200.

41.  EL NÚMERO MÁGICO 481. Se obtiene el número ababab. Siendo ab el número de dos cifras de partida.

42.  CUADRADO PERFECTO. En todo sistema de numeración de base mayor que 2, el número 121 es cuadrado perfecto. En cualquiera de estas bases 11x11=121.

43.  EL MENOR TRIPLETE. 1, 5, 7.

44.  QUINTA POTENCIA DE UN Nº. Para que la cifra final sea un 7 ha de serlo la del número buscado. El único número acabado en 7 que elevado a 5 da un resultado de 7 cifras es 17. [Hay que hacer notar que todo número elevado a la 5ª potencia da un resultado cuya última cifra es la misma que la de su base]

45.  A BUEN FIN, MEJOR PRINCIPIO. En 9, ya que las potencias de 7 acaban en 7, 9, 3 ó 1, repitiéndose las terminaciones cada 4 factores. Dividiendo 87578 entre 4, como el resto es 2, quiere decirse que la potencia buscada acaba en 9.

46.  TRES AGUJAS EN UN PAJAR. No tres, sino un número infinito que cumplan tal condición:
 999.999,   999.999.999,   999.999.999.999, etc.

47.  CABRAS Y OVEJAS. 9 cabras y 9 ovejas. Su producto 81, se transforma en el espejo en 18, que es el número de animales del rebaño.

48.  A²+2=B3. 5² + 2 = 33. Fermat demostró que es la única solución.

49.  EL CORRAL DE PALOMO. El señor Palomo debe haber tenido 8 ovejas en su rebaño. Ocho postes dispuestos en un cuadrado tendrán la misma superficie que diez postes dispuestos en un rectángulo con cinco postes en el lado más largo y dos en el lado más corto.

50.  EL REBAÑO MÁS PEQUEÑO. mcm (2,3,4,5,6,7,8,9,10) + 1 = 2.521.

52.  MAYOR CUADRADO. 9 814 072 356 = 99.066². La raíz 99.066 no se altera si se lee con el libro vuelto al revés.

53.  ¿SERÁ CUADRADO? Sí. Por ejemplo: 152 843 769 = 12363², 157 326 849 = 12543², 215 384 976 = 14676².

54.  LA CIFRA PERDIDA. Como 53.928.719.937 es múltiplo de 9 el producto también lo será, así que:
 2+0+3+1+2+1+4+4+ +0+6+8+3+1+1+7+6=49+* entonces: *=5.

55.  LOS REPOLLOS DE LA SEÑORA GARCÍA. El año pasado la señora García plantó 11.025 repollos en un cuadrado con 105 plantas por lado. Este año cosechará 11.236 repollos en un cuadrado con 106 plantas por lado.

56.  REGALO MILLONARIO. Contar un millón llevaría 11 días, 13 horas, 46 minutos y 39'9 segundos. Pero al no poder dormir, eso sobrepasaría el límite de resistencia de la naturaleza humana. Contando dos días y medio sin parar se llevaría Vd. 216.000 ptas.

57.  MONETARIO. La mayor cantidad que no se puede pagar es 53 centavos. Con monedas de 7 centavos tenemos cubiertas todas las terminaciones (21, 42, 63, 14, 35, 56, 7, 28, 49) desde 63 en adelante. Por lo tanto, el mayor valor que no se puede abonar es 53.

58.  SE LLEGA SIEMPRE AL 1.

59.  SOBRE NÚMEROS DE DOS CIFRAS. 10x+y=y2,  10x=y(y-1).
         Como el número es el cuadrado de la cifra de sus unidades, ésta ha de ser un 5 o un 6, ya que todas las demás dan cuadrados que no acaban en la misma cifra.
         Para y=5 x=2. Para y=6 x=3. Existen, pues, dos soluciones: 25 y 36.

60.  SIEMPRE EXACTO: La serie que va del 2521 al 2529. 2521/1=2521, 2522/2=1261, 2523/3=841, 2524/4=631, 2525/5=505, 2526/6=421, 2527/7=361, 2528/8=316 y 2529/9=281.

61.  FECHAS CAPICÚAS. Las fechas pedidas son: 29-8-92 y 2-9-92. Entre ellas hay cuatro días.

62.  TRES ENTEROS CONSECUTIVOS. 3, 4 y 5.

63. VAYA BOLETO. El boleto era el 31113.

64. MCD y mcm. Dos números enteros cualesquiera.

65. EL TELÉFONO DE MI COLEGA. El teléfono es el 216-1649

66.  FACILEMA. Si xy es el número buscado:
         10x+y=2xy     y=(2y-10)x. Como y ha de ser entero positivo, la expresión anterior nos dice que además será par y mayor que 5. Sólo puede ser 6 u 8. Pero 8, da una imposibilidad, ya que se obtiene: 8=6x. Para y=6, se obtiene la solución correcta: 6=2x, x=3.
         El número buscado es el 36.

67.  PAR = DIEZ. En el sistema de numeración de base 2, el par vale 10. En este sistema nuestro 10 (23+2) se escribe 1010.

68.  CURIOSA RAÍZ CUADRADA. 11111 y resto 2468.

69.  NUMEROS PRIMOS. Supuesta formada una tabla de números primos, sea P el mayor primo obtenido.
         Demostremos que hay un número primo mayor que P.
         El número (2 3 5 7 11 ... P)+1 es mayor que P. Si este número es primo ya está demostrado. Si es compuesto, admitirá un divisor primo, y este divisor primo será mayor que P, pues el número en cuestión no es divisible por ninguno de los números primos inferiores a P, ya que en todas las divisiones se obtiene resto igual a 1. Por tanto, no puede haber un número finito de números primos.

72.   PRODUCTOS QUE SE ESCRIBEN CON UNA SOLA CIFRA (3).
          2.267.573.696.145.124.716.553.287.981.859.410.430.839.

73.  LOS 4 SON PRIMOS. A, B, C y D sólo pueden tomar valores 1, 3, 7 y 9. A y C sólo pueden ser 1 ó 7; de lo contrario, ADDD y AACA serían divisibles por 3 por el criterio de divisibilidad de la suma de las cifras. Por tanto, B y D han de ser 3 ó 9. Entonces el número BCDB sólo puede ser:
         3193 (no es primo, es divisible por 31)
         3793 primo
         9139 (no es primo, es divisible por 13)
         9739 primo
         En los dos caso posibles C=7; por tanto A=1. El número BDAC habrá de ser, o bien 9317, que es divisible por 7, o bien 3917, que es primo, y, por tanto, la única solución correcta: A=1, B=3, C=7 y D=9.

74.  TRES CIFRAS Y EL 30. 30=33-3.  30=33+3.  30=4!+4+Raíz(4).  30=5x5+5. 30=9xRaíz(9)+Raíz(9).

75.  LA CONJETURA CAPICÚA.  ...............

76.  TIRO CON ARCO (1). Seis flechas harán cien puntos si dan en 17, 17, 17, 17, 16, 16.

77.  TIRO CON ARCO (2). Ocho flechas harán cien puntos si dan en 13, 13, 13, 13, 13, 13, 11, 11.

78.  TRES CIFRAS Y EL 24. 24=22+2. 24=33-3. 24=(4+ 4) 4. 24=4!+4-4. 24=4!+ 4- 4.

79.  SOLDADOS COMBATIVOS (1). 324 = 18². 325 = 13 x 5²

80.  SOLDADOS COMBATIVOS (2). 602.176 = 776². 602.177 = 113 x 73²

81. EL NÚMERO 987.654.321.

82.  DEL TEOREMA DE FERMAT. El primer número, 1324, al ser elevado a una potencia cualquiera, terminará en 6 o en 4. Los otros dos números, 731 y 1961, elevados a potencia, habrán de acabar en 1. Puesto que ningún número acabado en 6 o en 4, sumado a un número acabado en 1, puede dar un número acabado en 1, la ecuación carece de soluciones.

83.  A LA CAZA DEL 53.
         35 - 53 - 5 x (5+5+3) = 53.
         (5x5+3) x (5-3) - 5 + 5 - 3 = 53.
         (5/5+5+3) x (3+3) - 5/5 = 53.
         (5+3) x (5+5-3) - 3 x (5/5) = 53.

84.  DIANA (1). 25, 25, 20, 20, 3 y 3.

85.  DIANA (2). 5, 13, 13, y 19.

86.  DIANA (3). 16, 16, 16, 16, 17 y 19.

87.  DIANA (4). 11, 19, 19, 17, 17 y 17.

88.  AABB=(CD)². N = aabb = 1000a + 100a + 10b + b = 1100a + 11b = 11 (100a + b) = 11² n²     a=7, b=4     N = 7744.

89.  ABCD = (CD)². 5776 = 76². Solución única.

90.  A²+B²+C²=D². Hay infinitas soluciones:
         2² + 10² + 11² = 15²,
         3² + 4² + 12² = 13²,
         5² + 12² + 84² = 85²,
         etc.

91.  A3+B3+C3=D3. Hay infinitas soluciones: 33 + 43 + 53 = 63.

92.  A²+(A+1)²=B4. La solución más breve es: 119² +  120² = 134.

93.  PRODUCTOS SIN REPETIR CIFRA.
         157 x 28 = 4396
         186 x 39 = 7254
         159 x 48 = 7632
         1738 x 4 = 6952
         1963 x 4 = 7852
         ...............

94.  CUADRADOS SIN REPETIR CIFRA. Aunque el interés matemático de esta cuestión es casi nulo, se ha encontrado que el número de cuadrados perfectos con las cifras diferentes es el siguiente:
         De 3 cifras, hay 13: Los cuadrados de 13, 14, 16, 17, 18, 19, 23, 24, 25, 27, 28, 29 y 31.
         De 4 cifras hay 36.
         De 5 cifras hay 65.
         De 6 cifras hay 94.
         De 7 cifras hay 123.
         De 8 cifras hay 97.
        De 9 cifras hay 81.
         De 10 cifras hay 86.

98.  CON LAS CIFRAS DEL 0 AL 9 (1). 4.938.271.605 x 2 = 9.876.543.210. En el primero, las cifras 4, 3, 2, 1 y 0 alternan con las 9, 8, 7, 6 y 5.

99.  CON LAS CIFRAS DEL 0 AL 9 (2). 915x64 = 732x80 = 58.560.

100.  CON LAS CIFRAS DEL 0 AL 9 (3). 27 x 594 = 16.038. Si los números pudieran contener uno, cuatro y cinco dígitos respectivamente, habría muchas respuestas correctas, tales como 3 x 5.694 = 17.082.

101.  CURIOSOS CUADRADOS INVERTIDOS. El matemático V. Thébault ha investigado cuáles son todos los pares que gozan de esta curiosa propiedad. Halló, por ejemplo, el par siguiente:
           11132 = 1238769,  31112 = 9678321.
           Otros que también la cumplen:
           1022 = 10404,  2012 = 40401
           1032 = 10609,  3012 = 90601
           1122 = 12544,  2112 = 44521
           1132 = 12769,  3112 = 96721

102.  DOBLE SUMA.  

103.  CINCO CONSECUTIVOS. Los números pedidos son: 10, 11, 12, 13 y 14.
           102 = 100,  112 = 121,   122 = 144,       100 + 121 + 144 = 365.
           132 = 169,  142 = 196,       169 + 196 = 365.

104.  ORDENANDO NÚMEROS. Ocho - Uno - Dos - Tres - Nueve - Seis - Cinco - Siete - Cuatro. Hay más soluciones.

105.  LA PROPORCIÓN MALIGNA. ¿Que si hay muchas más? Fíjese:
           2/10=697/3.485   2/10=769/3.845   2/10=937/4.685   2/10=967/4.835
           2/10=973/4.865   2/13=706/4.589   2/13=784/5.096   2/13=904/5.876
           2/16=738/5.904   2/16=935/7.480   2/16=938/7.504   2/19=406/3.857
           2/19=604/5.738   2/34=507/8.619   2/70=139/4.865   2/79=154/6.083
           3/15=972/4.860   3/18=465/2.790   3/21=708/4.956   3/21=807/5.649
           3/24=895/7.160   3/24=951/7.608   3/27=609/5.481   3/27=906/8.154
           3/42=579/8.106   3/45=186/2.790   3/45=618/9.270   3/51=476/8.092
           3/72=195/4.680   3/76=159/4.028   3/78=165/4.290   3/87=204/5.916
           3/92=186/5.704   4/13=860/2.795   4/31=968/7.502   4/32=89517.160
           4/32=951/7.608   4/38=206/1.957   4/38=602/5.719   4/52=716/9.308
           4/68=159/2.703   4/68=207/3.519   4/68=307/5.219   4/68=531/9.027
           4/81=356/7.209   4/86=130/2.795   5/20=796/3.184   5/30=697/4.182
           5/31=480/2.976   5/31=690/4.278   5/40=237/1.896   5/40=371/2.968
           5/40=789/6.312   5/40=791/6.328   5/40=839/6.712   5/40=892/7.136
           5/40=916/7.328   5/40=921/7.382   5/43=910/7.826   5/46=910/8.372
           5/48=310/2.976   5/69=310/4.278   5/91=430/7.826   5/91=460/8.372
           6/15=948/2.370   6/21=874/3.059   6/24=795/3.180   6/27=930/4.185
           6/30=297/1.485   6/48=915/7.320   6/54=309/2.781   6/54=903/8.127
           6/57=204/1.938   6/57=402/3.819   6/81=534/7.209   6/84=195/2.730
           6/90=183/2.745   6/93=270/4.185   6/93=504/7.812   7/29=364/1.508
           7/35=296/1.480   7/35=962/4.810   7/38=259/1.406   7/38=924/5.016
           7/49=308/2.156   7/49=803/5.621   7/56=238/1.904   8/20=694/1.735
           8/31=760/2.945   8/35=496/2.170   8/37=456/2.109   8/52=304/1.976
           8/52=934/6.071   8/56=307/2.149   8/56=703/4.921   8/64=915/7.320
           8/76=310/2.945   8/97=256/3.104   9/45=276/1.380   9/45=372/1.860
           9/45=762/3.810   9/72=451/3.608   9/72=631/5.048   9/72=638/5.104
           9/72=813/6.504   9/78=531/4.602   9/78=612/5.304   9/81=306/2.754
           9/81=603/5.427.  Salvo error.

106.  BILLETES CAPICÚAS.
           a) Hay 1.000. Son tantos y sólo tantos como números distintos hay de tres cifras, ya que si a cada uno de estos se le añaden sus dos propias primeras cifras en orden inverso, resulta un número de cinco cifras que es capicúa. Y no hay un capicúa de cinco cifras que no pueda resultar de uno de tres tras esta operación.
           b) Hay 9 pares de números capicúas que están a sólo 11 unidades de diferencia que son: 09990 y 10001; 19991 y 20002; 29992 y 30003; 39993 y 40004; 49994 y 50005; 59995 y 60005; 69996 y 70007; 79997 y 80008; 89998 y 90009.
           c) Los más alejados entre sí son, evidentemente: 00000 y 99999 (Siendo el 00000 el primero). Los más alejados entre sí serían: 00100 y 00000, si el 00000 fuera el último.
           d) Hay 112 billetes, por ejemplo, desde el 09890 hasta el 10001, ambos inclusive, que tiene estos dos y el 09990. Hay otros conjuntos de 112 billetes consecutivos que también contienen tres capicúas.
           e) Hay 310 billetes.

107.  CINCO CIFRAS SEGUIDAS. 13x4=52. Hay más soluciones.

108.  SENCILLO, DOBLE Y TRIPLE. Otras dos: 273-546-819.  327-654-981.

109.  EL TELÉFONO DE MI AMIGO EL VALENCIANO. 3-69-25-84.

110.  EL TELÉFONO DE MI AMIGO AMERICANO. 3816547290.

111.  SUMAS EN TRIÁNGULO. 9+682+35714=43434,  9+147+58236=60606,  9+712+58346=66366.

112.  PRODUCTOS CON LAS CIFRAS DEL 1 AL 9 (1). 138x42=5796, 483x12=5796,  186x39=7254, 157x28=4396, 198x27=5346, 297x18=5346, 1738x4=6952, 1963x4=7852.

113.  PRODUCTOS CON LAS CIFRAS DEL 1 AL 9 (2). 51 249 876 x 3 = 153 749 628, 32 547 891 x 6 = 195 287 346.

114.  PRODUCTOS CON LAS CIFRAS DEL 1 AL 9 (3). 567 x 843 x 912 = 435.918.672 la máxima. 163 x 827 x 945 = 127.386.945 la mínima.

115.  LOS UNOS Y LOS DOSES. Es cierta. Veamos la demostración con cuatro unos y dos doses, que se puede generalizar a cualquier número par de unos y la mitad de doses:
           1111 - 22 = 1111 - 2(11) = 1100 - 11 = 11(100 - 1) = 11 x 99 = 11 x 9 x 11 = 112 x 32 = 332.

116.  EL MENOR NÚMERO (2). Sumando 1 al número pedido n, será divisible por 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8 y 9. Luego n+1 es el mínimo común múltiplo de todos ellos, es decir:
           n = m.c.m. (2,3,4,5,6,7,8,9) - 1 = 2.520 - 1 = 2.519.

117.  COLOCANDO SIGNOS. 1  x  2  +  3  -  4  =  1
1  -  2  +  3  +  4  -  5  =  1
1  x [2  - (3  -  4) x (5  -  6)] =  1
(1  +  2) : [3  x  (4 -  5) x (6  -  7)] =  1
1  x [2  + (3  -  4) x (5  -  6) x (7  -  8)] =  1
1  x (2  -  3) x (4  -  5) x (6  -  7) x (8  -  9) =  1

118.    ...
 
 

EDADES
(Última actualización:  FEBRERO-2001)

       Los problemas relativos a edades son siempre interesantes y ejercen cierta fascinación sobre los jóvenes con inclinaciones matemáticas.

1.    CARLOS EN EL AÑO 2.000. ¿Qué edad tendrá Carlos en el año 2.000 sabiendo que esa edad será igual a la suma de las cuatro cifras de su año de nacimiento?

2.    LA EDAD DEL SR. GÓMEZ. "Yo tenía n años en el año n²", gustaba decir el Sr. Gómez a sus amigos. Bien, ¿cuándo nació? Hablaba en el siglo XX.

3.    ¿QUIÉN ES MAYOR? Dentro de dos años mi hijo será dos veces mayor que era hace dos años. Y mi hija será dentro de tres años tres veces mayor que era hace tres años. ¿Quién es mayor, el niño o la niña?

4.    POBRE PÍO. En una lápida podía leerse esta inscripción: «Aquí yace Pío Niro, muerto en 1971, vivió tantos años como la suma de las cifras del año de su nacimiento». ¿A qué edad murió?

5.    LA EDAD DE JUAN. La edad de Juan es 1/6 la de su padre. La edad del padre dividida por 2, 3, 4, 6 y 8 da de resto 1; pero al dividirla por 5 da de resto cero. ¿Qué edad tiene Juan?

6.    LA EDAD DE MI HIJO. Mi hijo es ahora tres veces más joven que yo. Pero hace cinco años era cuatro veces más joven. ¿Cuántos años tiene?

7.    MI HERMANO Y YO. Mi hermano me lleva 8 años. ¿Dentro de cuántos años su edad será el doble que la mía, si hace tres años era el triple?

8.    LAS MENINAS. El famoso cuadro Las Meninas fue pintado por Velázquez en 1656, a los 57 años de edad, después de vivir 34 años en Madrid, donde se había instalado a los 4 años de casado. ¿A qué edad se casó?

9.    LA EDAD DEL CAPITÁN. El capitán dice a su hijo: tres veces el cuadrado de tu edad más 26 años dan el cuadrado de mi edad. ¿Cuál es la edad del capitán?

10.    LA FAMILIA DE CARLOS. Carlos frisa en la cuarentena. Si se escribe tres veces seguidas su edad se obtiene un número que es el producto de su edad multiplicada por la de su mujer y la de sus cuatro hijos. ¿Qué edad tiene cada uno de los miembros de la familia?

11.    ¿CUÁNTOS AÑOS TIENEN? Abuelo: Mi hijo tiene tantas semanas como mi nieto días. Mi nieto tiene tantos meses como yo años. Los tres juntos tenemos exactamente 100 años. ¿Qué edad tiene cada uno?

12.    ¿QUÉ EDAD TENGO? Si multiplicamos por 3 los años que yo tenga dentro de 3 años y restamos el triplo de los que tenía hace tres años se obtendrán los años que tengo ahora. ¿Qué edad tengo ahora?

13.    AÑOS DE SINDICATO. Pedro lleva ahora en el sindicato el doble de años que Joaquín. Hace dos años llevaba el triple de años. ¿Cuántos años lleva cada uno en el sindicato?

14.    EN EL AÑO 1.994. Si en 1.974 María tuvo la cuarta parte de la edad de su madre, y en 1.984 la mitad, ¿qué edad tendrá cada una de ellas en 1.994?

15.    LA ESTRELLA DE CINE. A una estrella de cine le preguntan qué edad tiene y contesta: "Si al doble de los años que tengo, le quita el duplo de los que tenía hace diez años, el resultado será mi edad actual. ¿Cuántos años tiene?

16.    LOS TRES HERMANOS. La edad de Juan es mayor que la de su hermano Antonio en 5 años; Francisco tiene tantos años como los dos juntos, y entre los tres suman en total 70 años. ¿Qué edad tiene cada uno de ellos?

17.    ¿CUÁNDO SALDRÁ DE LA CÁRCEL? Un hombre fue metido en la cárcel. Para que su castigo fuera más duro no le dijeron cuánto tiempo tendría que estar allí dentro. Pero el carcelero era un tipo muy decente, y el preso le había caído bien.
       Preso: Vamos, ¿no puedes darme una pequeña pista sobre el tiempo que tendré que estar en este lugar?
       Carcelero: ¿Cuántos años tienes?
       Preso: Veinticinco.
       Carcelero: Yo tengo cincuenta y cuatro. Dime, ¿qué día naciste?
       Preso: Hoy es mi cumpleaños.
       Carcelero: Increíble. ¡También es el mío! Bueno, por si te sirve de ayuda te diré (no es que deba, pero lo haré) que el día en que yo sea exactamente el doble de viejo que tú, ese día saldrás. ¿Cuánto tiempo dura la condena del preso?

18.    LA EDAD DEL CURA. El cura: He encontrado en el pueblo tres personas cuyo producto de edades es 2450. La suma de sus edades es igual al doble de la de usted. ¿Cuáles son esas edades?
        El sacristán: Solamente con esos datos no puedo responder a su pregunta.
        El cura: Bueno, una de esas tres personas es mayor que yo.
         ¿Cuál es la edad del cura?

19.    DIFERENCIA DE EDAD. Las sumas respectivas de las cifras que forman los años de nacimiento de Juan y Pedro son iguales. Sabiendo que sus edades empiezan por la misma cifra, ¿cuál es su diferencia de edad?

20.    AL FINAL DE LA SECUNDARIA. Rita y Carlos se casaron hace 6 años cuando sus edades estaban en la proporción de 13 a 11. Tuvieron su primer hijo hace 4 años cuando sus edades estaban en la proporción de 7 a 6. Si su hijo terminara la enseñanza secundaria a los 15 años, ¿qué edad tendrá entonces su padre?

21.   TRABALENGUAS DE EDADES (1). Carlos dirigiéndose a Juan: "Mi edad es el doble de la que tú tenías cuando yo tenía la que tú tienes. Cuando tú tengas la edad que yo tengo, tendremos entre los dos 63 años." Adivinar las edades de Carlos y Juan.

22.   TRABALENGUAS DE EDADES (2). Pedro dice un día a Manolo: "Mi edad es el triple de la que tú tenías cuando yo tenía la que tú tienes. Cuando tú tengas la edad que yo tengo, tendremos entre los dos 77 años." Adivinar las edades de Pedro y Manolo.

23.   TRABALENGUAS DE EDADES (3). Don Sixto le dice a Don Pedro: "Yo tengo el doble de la edad que usted tenía cuando yo tenía la que usted tiene. La suma del triple de la edad que usted tiene con la que yo tendré cuando usted tenga la edad que yo tengo, es 280. Cuales son las edades de Don Sixto y de Don Pedro?

24.   HISTORIA DEL SIGLO XX. Una pareja de matemáticos; marido y mujer, mantienen el siguiente diálogo:
        El: ¿Te das cuenta de que mi edad sólo fue múltiplo de la tuya una vez?
        Ella: Es verdad, y es una pena que no nos conociéramos entonces, porque no volverá a suceder.
        El: Pero la edad de nuestro hijo es el máximo común divisor de las nuestras.
        Ella: Y el mínimo común múltiplo de nuestras edades es el año en que estamos.
         ¿En qué año nacieron él, ella y su hijo?

25.    ...


SOLUCIONES  DE  EDADES

 1.  CARLOS EN EL AÑO 2.000. 19 años. Nació en 1981. 1+9+8+1=19.

2.    LA EDAD DEL SR. GÓMEZ. El Sr. Gómez nació en 1892; tenía 44 años en el año 44²=1936.

3.    QUIÉN ES MAYOR? Son mellizos y tienen 6 años. Prueba: 6+2=8=2x4,  6+3=9=3x3.

4.    POBRE PÍO. Nació en 1953. Murió a los 18 años.

5.    LA EDAD DE JUAN. Sea x la edad del padre. Como el mcm(2,3,4,6,8)=24,  x = 24k+1 = 25h  (h entero)  que se cumple para k=1. Así:  25 es la edad del padre  y  25/6=4 años y 2 meses  la edad de Juan. Es cierto que caben otras soluciones, (k=6,11,...), pero implican para el padre edades superiores a 144 años, lo que las excluye, pues hubiese engendrado el hijo después de 120 años y, no conviene exagerar.

6.    LA EDAD DE MI HIJO. Hijo 15 años. Padre 45 años. 15=45/3, 15-5=10=4x40

7.    MI HERMANO Y YO.

8.    LAS MENINAS. Se instaló en Madrid a los 57 - 34 = 23 años. Se casó a los 23 - 4 = 19 años.

9.    LA EDAD DEL CAPITÁN. No existe solución. Se tendría: a² = 3b² + 26 = 3n + 2. Pero, un cuadrado será múltiplo de 3 o múltiplo de 3 más 1, nunca múltiplo de 3 más 2.

10.    LA FAMILIA DE CARLOS. Sea ab la edad de Víctor. ababab = ab0000 + ab00  + ab = 10101 x ab = 1 x 3 x 7 x 13 x 37 x ab. Carlos tiene 39 años, su mujer 37 y sus hijos 1, 3, 7 y 13 años.

11.    ¿CUÁNTOS AÑOS TIENEN? El hijo es 7 veces mayor que el nieto. El abuelo es 12 veces mayor que el nieto. Si el niño tuviera un año, el hijo tendría 7 y el abuelo 12, y todos juntos 20. Esto es exactamente 5 veces menos de lo que ocurre en realidad. Por tanto, el nieto tiene 5 años, el hijo, 35 y el abuelo, 60. 5 + 35 + 60 = 100.

12.    ¿QUÉ EDAD TENGO? 18 años. Prueba: 3x21 - 3x15 = 63 - 45 = 18

13.    AÑOS DE SINDICATO. Pedro 8 años, Joaquín 4 años. 8=2x4, 6=2x3.

14.    EN EL AÑO 1.994. 25 y 40 años.

15.    LA ESTRELLA DE CINE. 20 años.

16.    LOS TRES HERMANOS. Francisco 35, Juan 20 y Antonio 15.

17.    ¿CUÁNDO SALDRÁ DE LA CÁRCEL? Cuando el carcelero tenga el doble de años que el preso, la diferencia entre sus edades será la edad del preso. Además, la diferencia entre sus edades será la misma que ahora, es decir, 29 años. Así que cuando el preso tenga 29 años, el carcelero tendrá el doble (58). De modo que el preso tiene que esperar 4 años.

18.    LA EDAD DEL CURA. Se descompone 2450 en factores primos. Como el sacristán conoce su propia edad, el doble de su edad debería permitirle elegir una de las soluciones. Al no poder hacerlo, es que tiene posibilidad de elección entre varias soluciones.
         Examinando las posibles posibilidades de las sumas de las tres edades, se observa que sólo el número 64 aparece dos veces: (49 + 10 + 5 = 64) y (50 + 7 + 7 = 64). El sacristán tiene entonces 32 años. Precisando que una de las personas es mayor que el cura, éste da una indicación al sacristán que le permite elegir entre las dos soluciones. El cura tiene pues 49 años.
         Aunque no se nos pregunta: las edades de las personas son: 50, 7 y 7.

19.    DIFERENCIA DE EDAD. Sea (m,c,d,u) la descomposición según las cifras de millares, centenas, decenas y unidades de la fecha de nacimiento de Juan. Sea igualmente (m',c',d',u') la fecha de nacimiento de Pedro.
         Edad de Juan: Año en curso --> (1000m+100c+10d+u).
         Edad de Pedro: Año en curso --> (1000m'+100c'+10d'+u').
         Diferencia de edad: 1000(m-m')+100(c-c')+10(d-d')+(u-u').
         Por hipótesis sabemos que: m+c+d+u=m'+c'+d'+u'.
         Luego: (m-m')+(c-c')+(d-d')+(u-u')=0.
         Restamos esta cantidad nula a la diferencia de edad, y obtenemos: 999(m-m')+99(c-c')+9(d-d') que evidentemente es divisible por 9. Como esta diferencia es necesariamente menor que 10 (ya que las dos edades empiezan por la misma cifra), ha de ser 9.
         Juan y Pedro tienen 9 años de diferencia.

20.    AL FINAL DE LA SECUNDARIA. Sean x e y las edades actuales de Rita y Carlos.
         (x-6)/(y-6) = 13/11
         (x-4)/(y-4) = 7/6         Resolviendo este sistema: x=32, y=28.
         La edad del padre dentro de 11 años (cuando el hijo termina la secundaria) es 39.

21.   TRABALENGUAS DE EDADES (1). Si llamamos A a la edad que tu tenías cuando yo tenía la que tu tienes, y B a la edad que tu tienes, podemos escribir la siguiente tabla de correspondencia de edades: Tus edades           Las mías
A                            B
  B                           2A
   2A                       63-2A

         Lo que nos da, fijándonos en los intervalos de tiempo, que son iguales para ambas columnas de la tabla: B-A=2A-B y 2A+2A+(2A-B)=63, o lo que es lo mismo: 3A=2B y 6A-B=63 que nos da B=21 y 2A=28. Luego la solución del problema es: Tu edad actual (Juan) = 21 años. Mi edad actual( Carlos) = 28 años.

22.   TRABALENGUAS DE EDADES (2). Sea x la edad de Pedro, sea y la de Manolo. Lo que le dice Pedro a Manolo puede expresarse por la ecuación: x=3[y-(x-y)], es decir, 4x=6y o bien 2x=3y. La segunda parte puede expresarse por: x+[x+(x-y)]=77, es decir, 3x=y+77. Resolviendo el sistema formado por las dos ecuaciones obtenidas: x=33, y=22. Es decir: Pedro 33 años y Manolo 22 años.

23.   TRABALENGUAS DE EDADES (3).

24.   HISTORIA DEL SIGLO XX. Él nació en 1.935, ella en 1.936 y su hijo en 1.979. El diálogo tiene lugar en 1.980, teniendo él 45 años, ella 44 y su hijo 1.
         La clave del problema está en lo primero que dice él: "Mi edad sólo fue una vez múltiplo de la tuya", y que precisa ella al decir "no volverá a suceder". Las edades de dos personas van aumentando de año en año, pero su diferencia se mantiene constante, y la edad de la mayor de las dos es múltiplo de la de la menor siempre que y sólo cuando la edad de la menor sea alguno de los divisores de la diferencia entre ellas. Por tanto, como en este caso se trata de dos edades en que sólo se da una vez esa divisibilidad, significa que la diferencia es un número que sólo tiene un divisor, y eso sólo le ocurre al número 1, luego la diferencia es 1: él tiene 1 año más que ella. Entonces, ya lo demás es fácil de deducir: como las edades del matrimonio son dos números consecutivos, su máximo común divisor he de ser 1 (que es la edad del hijo) y el mínimo común múltiplo es igual al producto de las edades; y al verificarse que este producto es igual al año en que hablan (y que es del siglo XX), sólo hay que buscar dos números consecutivos cuyo producto esté comprendido entre 1.901 y 2.000. Los únicos números que lo cumplen son 44 y 45, cuyo producto es 1.980.

25.    ...