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El truco es el siguiente: Pedís a alguien que os escriba un número de cuatro cifras. En un papel aparte restáis 2 a esa cifra y le ponéis un 2 delante: Ejemplo: Si escriben 2435 vosotros escribiréis 22433 Escribís el número aparte, sin que nadie os vea. Después pedís a alguien que escriba otro número de 4 cifras debajo. Una vez hecho esto, decís que el siguiente lo vais a escribir vosotros. Tenéis que completar con nueves (es decir, hacer que la suma de vuestra cifra y la anterior de todo nueves). Ejemplo: Si el primer número que han puesto es el 2435 y el segundo el 2354 2435 Hemos puesto el 7645 porque 7+2=9, 6+3=9, 5+4=9 y 4+5=9. Tenéis que ponerlo simulando que lo ponéis al azar. Una vez hecho esto, repetimos la operación otra vez, decimos que pongan otro número de cuatro cifras debajo, y nosotros volvemos a poner otro completando a nueves con el anterior 2435 Ahora viene lo bueno: decimos a alguien que sume toda la columna. El resultado será el número que previamente habíamos copiado en un papel. Consejo: verificar antes porque casi todo el mundo se equivoca al hacer la suma. Explicación: No tiene nada de misterioso. Fijémonos en los pares 2-3 y 4-5 de la columna. Ambos suman 9999, por lo que los 4 suman 19.998. Es decir, 20.000 menos 2. Sumado a la primer cifra es lo mismo que restarle 2 y ponerle un 2 delante.
Este truco esta bien, es bastante sencillo, pero no es un truco que se pueda improvisar en un momento, a no ser que tengáis una gran capacidad de cálculo o una memoria prodigiosa. El truco es el siguiente: debeis enseñar las siguientes columnas.
Pedir a alguien que piense en un número del 1 al 15. Pedir que os señale en cuales de las cuatro columnas aparece ese número. Para adivinar el número solo tendréis que sumar los números marcados en rojo de las columnas que os señalen. Ejemplo: Si han pensado en el número 7, os señalarán las tres primeras columnas, sumando los tres números rojos, tendréis 1+2+4=7. Explicación: En la primera carta están todos los números cuyo último dígito en el sistema binario es 1; la segunda contiene todos los números cuyo segundo dígito por la derecha es 1 (en el sistema binario), la tercera y la cuarta lo mismo. Los números marcados en rojo son las potencias de 2. Por lo tanto, cuando os señalan las columnas, os están indicando el desarrollo en binario del número elegido (aunque ellos no lo sepan).
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Problemas sobre números, curiosidades numéricas, etc. 1. NINGÚN Nº PRIMO. En la decena: 531, 532, ..., 540, no hay ningún número primo. ¿Podría Vd. encontrar una decena menor en la que tampoco haya ningún número primo? 2. FRACCIONES EXTRAÑAS. ¿Qué tienen de extraño las siguientes fracciones: 19/95, 26/65, 16/64? 3. TODOS
LOS PRIMOS. Los números primos detectados hasta ahora son muchísimos,
pero hay una cantidad finita de ellos. Multipliquémoslos todos entre sí.
No, no se ponga a multiplicar; imagine que alguien ya hizo esa
multiplicación por Vd. Llamemos al resultado P. 4. ¿QUE NÚMERO SOY? Soy capicúa, del 2 al 10 sólo hay un divisor mío, tengo cuatro cifras, pero algunos me ven como si fuera un 9. ¿Qué número soy? 5. DIVISIONES EXACTAS. Escoge un número de tres cifras y forma otro repitiendo el primero. Por ejemplo: 234234. Divide este número entre 7; después el cociente entre 11 y, por último, el nuevo cociente entre 13. Obtienes divisiones parciales exactas y al final tu número inicial, ¿verdad? ¿Por qué? 6. LA BASE DESCONOCIDA. Mi hijo ha aprendido a contar según una base no decimal, de manera que en lugar de escribir 136 escribe 253. ¿Cuál es esta base? 7. MENOR NÚMERO. ¿Cuál es el menor número que, dividido por 2, 3, 4, 5 y 6 da respectivamente los restos 1, 2, 3, 4 y 5? 8. PACIENCIA Y PROGRESIÓN. Las nueve cifras de los tres números abc def ghi son distintas. El segundo es el doble del primero, y el tercero es triple del primero. Encontrar los tres números. 9. PRODUCTO DE CUATRO ENTEROS CONSECUTIVOS. El producto de cuatro números enteros consecutivos es 3.024. ¿Cuáles son estos números? 10. EL MENOR CON X DIVISORES. ¿Cuál es el menor número con 7 divisores y no más? ¿Y, con 8 divisores? 11. LA CIFRA BORROSA. Al hacer el siguiente producto: 12. ACERCA DE LOS PRIMOS. Encontrar 10 números consecutivos que no sean primos. 13. EL GRAN DESFILE. Treinta soldados pueden desfilar de 1 en 1, de 2 en 2, de 3 en 3, de 5 en 5, de 6 en 6, de 10 en 10, de 15 en 15 y los 30 enfilados; es decir; de 8 formas diferentes sin que existan números desiguales de soldados en las líneas. ¿Cuál es el menor número de soldados que debe tener una compañía para poder desfilar de 64 formas diferentes? 14.
CON 4 TRESES. Empleando cuatro treses (ni más ni menos) y las
operaciones habituales: (+, -, x, /, , !, potencias, etc.) expresar
todos los números del 1 al
10. 15.
CON 4 CINCOS. Empleando cuatro cincos (ni más ni menos) y las
operaciones habituales: (+, -, x, /, , !, potencias, etc.) expresar
todos los números del 1 al
10. 16. ESCRITURA DEL CIEN (1). Escribe el número 100 con nueve cifras idénticas. Éstas sólo podrán estar separadas por los signos matemáticos +, -, x, : y ( ). 17. EL MAYOR PRODUCTO. Con las cifras 1, 2, 3, 4, 5 y 6 escribe dos números de tres cifras cada uno cuyo producto sea lo mayor posible. Hay que usarlas todas. 18. SUMA POR PRODUCTO. Encontrar dos números tales que el producto de la suma por el producto sea igual a 29.400. 19. BUSCANDO UN DIVISOR. Buscar un divisor distinto de él mismo y de la unidad del número 11.111.111.111.111.111 (hay 17 unos). 20. MAYOR Y MENOR MÚLTIPLOS DE 11. ¿Cuál es el mayor múltiplo de 11 formado por las nueve cifras significativas sin que se repita ninguna? ¿Y el menor? 21. EL NUMERO
1.089. Tomamos un número de tres cifras, de modo que no sean las tres
iguales; por ejemplo 637. A continuación formamos otro número, ordenando
las cifras de mayor a menor. Resulta 763. Formamos otro, ordenándolas de
menor a mayor. Resulta 367. Restamos 763 - 367 = 396. A este último número
le damos la vuelta, 693, y sumamos los dos últimos: 693 + 396 =
1.089. 22. EL NÚMERO MÁGICO 495. Escoge un número cualquiera de tres cifras, no todas iguales; por ejemplo, 373. Construye otro ordenando sus cifras de mayor a menor: 733. Ahora las ordenas de menor a mayor: 337. Resta: 733-337=396. Repite la operación unas cuantas veces con este resultado y los sucesivos. ¿Qué observas? ¿Qué pasa con un número de dos o cuatro cifras al hacer un proceso semejante? ¿Cuál es la razón? 23. EL MÁGICO NUMERO 68. Consiga una hoja de papel, recorte de ella un cuadrado de aproximadamente 20 centímetros de lado. Doble el papel al medio cuatro veces, de modo que al desdoblarlo los pliegues formen una cuadrícula de 16 cuadrados pequeños. Ahora marque bien cada pliegue hacia adelante y hacia atrás, para que el papel se doble fácilmente en cualquier dirección. Numere los cuadrados de 1 a 16 como se muestra en la ilustración:
Doble el
papel a lo largo de los pliegues hasta que quede del tamaño de uno de los
cuadrados pequeños. Su modo de doblarlo puede ser tan complicado como
quiera; puede incluso meter pliegues dentro de pliegues. 24.
SIMPLIFICACIONES ESCANDALOSAS. Ocurrió el 18 de noviembre de 1994
en una clase de Matemáticas de 1º de BUP de un instituto de
Salamanca. 25. CURIOSA PROPIEDAD (1). 173=4.913. Si ahora sumamos las cifras del resultado 4+9+1+3, volvemos a tener el 17. Lo mismo ocurre con el 18. 183=5.832. 5+8+3+2=18. No muy lejos de ellos hay otros dos números, consecutivos, cada uno de los cuales goza de la misma propiedad. ¿Cuáles son? 26. CON LAS CIFRAS DEL 1 AL 9. Los números del 2 al 9 pueden ser expresados como fracciones en las cuales cada dígito, excepto el 0, aparece una y sólo una vez. Por ejemplo: 2=13458/6729, 4=15768/3942. Encuentre fracciones similares que den por resultado 3, 5, 6, 7, 8 y 9. 27. CURIOSA PROPIEDAD (2). 12²=144, 21²=441. 13²=169, 31²=961. Encontrar otro número de dos cifras que cumpla la misma propiedad. 28. DELANTE Y DETRÁS. En el resultado del producto 41096 x 83 = 3410968 se ha colocado el 3 delante y el 8 detrás y el producto es correcto. Encontrar otros productos que produzcan el mismo efecto, con el multiplicador de dos dígitos y el multiplicando con las cifras que se quiera. 29.
CURIOSA PERSISTENCIA DEL
5. 30.
NOTABLE SUCESIÓN DE
CUADRADOS. 31. ESCRITURA DEL CIEN (2). Escribe el número 100 empleando cinco cifras iguales. Éstas sólo podrán estar separadas por los signos matemáticos +, -, x, : y ( ). 32.
EL NÚMERO
25. 33.
EL NÚMERO
142.857.143. 34. MÉTODO ÁRABE DE MULTIPLICACIÓN. Todavía lo practican algunos árabes de ciertas regiones. En el ejemplo se muestra el producto de 346 x 2674 = 925204. 35. ERROR MECANOGRÁFICO. Una mecanógrafa inexperta estaba copiando un libro de matemáticas, donde debía escribir 5423, escribió 5423, que es muy distinto. ¿Podría Vd. encontrar otras cuatro cifras, para que ambos modos de escribir signifiquen el mismo número? (En este caso el error mecanográfico no hubiese tenido importancia en el resultado). 36. AÑO DE NACIMIENTO. Restad a vuestro año de nacimiento la suma de las cuatro cifras que lo componen. Obtendréis así un resultado divisible por 9. ¿Por qué? 37. MÚLTIPLO DE 9. ¿Qué condición ha de cumplir un número para que al restarle la suma de sus cifras el resultado sea múltiplo de 9? 38. FECHAS INDETERMINADAS. En España, fechas como 6 de diciembre de 1977 suelen abreviarse 6-12-77; pero en otros países, como EE.UU., se da primero el mes y luego el día, escribiéndose 12-6-77. Si desconociésemos cuál de ambos sistemas se ha utilizado, ¿cuántas fechas quedarían indeterminadas en la notación abreviada? 39. OBREROS DE SIEMPRE. Dos albañiles se reparten en dos partes, no exactamente iguales, pero semejantes, a ojo de buen cubero, un montón de 100 ladrillos. El primero los va disponiendo en hileras de 5 ladrillos, y el segundo los coloca en columnas de 7 ladrillos. Cuando terminan su montón al primero le quedan dos ladrillos sin colocar, y al segundo le han sobrado 4. ¿Cuántos ladrillos había tomado cada uno? 40. VENTA DE PELOTAS. Por la venta de una partida de pelotas un señor obtiene 60.377 ptas. El precio de cada pelota fue inferior a 200 ptas. ¿Cuántas pelotas vendió? 41. EL NÚMERO
MÁGICO 481. Escoge un número cualquiera de dos cifras, por ejemplo,
26. Construye el número siguiente: 26 + 26x20 = 546. Ahora, el número 546
le multiplicamos por el dicho 481: 546x481 = ... ¿Qué se
obtiene? 42. CUADRADO PERFECTO. Hallar una base de numeración distinta de 10 en la que 121 sea cuadrado perfecto. 43. EL MENOR TRIPLETE. Hallar el menor triplete de números enteros tales que el mayor sea múltiplo del menor y que sus tres cuadrados estén en progresión aritmética. 44. QUINTA POTENCIA DE UN Nº. Halla el número n sabiendo que n5 es un número de 7 cifras acabado en 7. 45. A BUEN FIN, MEJOR PRINCIPIO. ¿En qué cifra termina 783578? 46. TRES AGUJAS EN UN PAJAR. El número primo 37 es un divisor de 999. ¿Puede Vd. encontrar tres números más que tengan todas sus cifras iguales y sean múltiplos de 37? 47. CABRAS Y OVEJAS. Un campesino tenía un rebaño de animales formado por cabras y ovejas. El número de ovejas multiplicado por el número de cabras da un producto que reflejado en el espejo, muestra el número de animales del rebaño. ¿Cuántos animales de cada clase hay en el rebaño? 48. A²+2=B3. Hallar un cuadrado que se convierta en un cubo al sumarle 2. 49. EL CORRAL DE
PALOMO. El carpintero que construyó el corral para las ovejas de
Palomo descubrió que podía ahorrarse dos postes si el campo a cercar fuera
cuadrado en lugar de
rectangular. 50. EL REBAÑO MÁS PEQUEÑO. Un granjero que tiene un rebaño de ovejas muy numeroso descubre una gran singularidad con respecto a su número. Si las cuenta de dos en dos, le sobra 1. Lo mismo ocurre cuando las cuenta de 3 en 3, de 4 en 4, etc.... hasta de 10 en 10. ¿Cuál es el rebaño más pequeño que se ajusta a estas condiciones? 51. EL NÚMERO
MÁGICO 153. En el evangelio, según San Juan, (cap. 21, versículo 11),
se lee que: «Los discípulos no habiendo pescado nada durante la noche
se disponían a abandonar la tarea, cuando siguiendo el consejo de Jesús,
echaron de nuevo la red, la cual cuando Simón Pedro, la levantó y la trajo
a tierra estaba llena de grandes peces en número 153 y siendo tantos la
red no se rompió». Por esto el número 153 se consideró en la
antigüedad como número mágico, buscándose distintas propiedades del mismo.
Por ejemplo: 52. MAYOR CUADRADO. ¿Cuál es el mayor cuadrado que se puede escribir con las diez cifras tomadas una vez cada una? 53. ¿SERÁ CUADRADO? ¿Puede ser cuadrado un número formado con las nueve cifras significativas en un orden cualquiera? 54. LA CIFRA PERDIDA. El producto de 53.928.719.937 por 376.648 es 20312144*06831176. ¿Puede hallar Vd. la cifra que falta sin efectuar la multiplicación? 55. LOS REPOLLOS DE LA SEÑORA GARCÍA. La señora García tiene ahora una plantación cuadrada de repollos más grande que la que tenía el año pasado, y que por lo tanto tendrá 211 repollos más. ¿Cuántos matemáticos y agricultores lograrán determinar el número de repollos que tendrá este año la señora García? 56. REGALO MILLONARIO. Imaginemos que un millonario se ofrece a regalarle a Vd. las monedas de una peseta que sea capaz de llevarse, a condición de contarlas una por una y sin detenerse. Podrá Vd. llevarse todas las que haya contado hasta que se pare. Supongamos que cuenta una moneda por segundo. ¿Cuántas cree Vd. que podrá llevarse en realidad? 57. MONETARIO. En la República de Bizarria existe un curioso sistema monetario. Tienen allí solamente dos valores de monedas, de 7 centavos y de 10 centavos. La pregunta que hacemos también es extraña pero admite una solución simple. ¿Cuál es la mayor suma de centavos que no se puede abonar exactamente con tales monedas? 58. SE LLEGA
SIEMPRE AL 1. Toma un número natural cualquiera. Si es impar
multiplícalo por 3 y añádele 1. Si es par, toma la mitad. Repitiendo la
operación sucesivamente se llega siempre al número 1.
Así: 59. SOBRE NÚMEROS DE DOS CIFRAS. ¿Qué número de dos cifras es el cuadrado de la cifra de sus unidades? 60. SIEMPRE EXACTO: Encontrar los menores 9 números consecutivos (mayores que 10), el primero terminado en 1 y el mayor terminado en 9, de manera que al dividirse por su última cifra el resultado de siempre exacto. Ejemplo: 31/1 sí, 32/2 sí, 33/3 sí, 34/4 no, 35/5 sí, 36/6 sí, 37/7 no, 38/8 no, y 39/9 no. 61. FECHAS CAPICÚAS. El día 18 de septiembre de 1981, en una emisora de radio, el presentador cayó en la cuenta de que tal fecha (18-9-81) era capicúa. Esto le dio lugar a lanzar en antena la siguiente pregunta: ¿Cuáles son las dos fechas capicúas más cercanas entre sí del siglo XX? ¿Podrá Vd. adivinarlas? 62. TRES ENTEROS CONSECUTIVOS. ¿Qué tres números enteros consecutivos y positivos, multiplicados entre sí, dan un total igual a quince veces el segundo de ellos? 63. VAYA BOLETO. El otro día compré un boleto de lotería capicúa. Si sumaba sus cinco cifras daba el mismo resultado que si las multiplicaba. La primera cifra de la izquierda era la edad de mi hermana pequeña, las dos siguientes la edad de la mediana, y las dos últimas la edad de la mayor, que le lleva más de un año a la mediana. ¿Cuál era la numeración del boleto? 64. MCD y mcm. Hallar dos números enteros positivos, x e y, tales que el producto de su MCD y su mcm sea el producto xy. 65. EL TELÉFONO DE MI COLEGA. Le pedí a mi colega Sátur su número de teléfono. Como es profesor de matemáticas me contestó diciendo: «El número que forman las cifras de las posiciones 4 y 5 es un cuadrado perfecto, al igual que el de las posiciones 5 y 6 y el de las posiciones 6 y 7. La tres primeras cifras forman un cubo perfecto, igual al producto de los otros cuatro dígitos». ¿Podría Vd. llamar por teléfono a mi colega Sátur? 66. FACILEMA. ¿Cuál es el número de dos cifras que es igual al doble del producto de sus cifras? 67. PAR = DIEZ. Si el par es diez, ¿cuál es la decena? 68. CURIOSA RAÍZ CUADRADA. Calcula la raíz cuadrada del número 123.456.789. Observa el resultado y el resto. 69. NUMEROS PRIMOS. Demostrar que hay infinitos números primos. 70. PRODUCTOS
QUE SE ESCRIBEN CON UNA SOLA CIFRA (1). Una propiedad muy conocida del
número 12.345.679 es que al multiplicarlo por 9 da un producto que se
escribe con sólo la cifra 1, esto es el número 111.111.111. Por lo tanto
al multiplicarlo por 18 (que es 9x2), por 27 (que es 9x3), por 36, etc.,
se obtienen también productos notables, a
saber: 71. PRODUCTOS
QUE SE ESCRIBEN CON UNA SOLA CIFRA (2). De no conocer el
multiplicando, podríamos haber intentado hallarlo sin más que dividir por
9 el número 11111..., bajando después de cada resto un uno, en vez de un
cero, hasta que la división fuese
exacta. 72. PRODUCTOS QUE SE ESCRIBEN CON UNA SOLA CIFRA (3). ¿Cuál es el número que, multiplicado por 49 da un producto que se escribe con sólo las cifras 1? 73. LOS 4 SON PRIMOS. ADDD, AACA, BCDB y BDAC son cuatro números primos. ¿Cuáles son? 74. TRES CIFRAS Y EL 30. Es fácil escribir el 30 con tres seises: (30=6x6-6) ¿Se podrá hacer lo mismo con otras tres cifras iguales? Busca todas las soluciones. 75. LA CONJETURA
CAPICÚA. Para obtener un número capicúa a partir de otro número se
invierte el orden de sus cifras y se suman el número dado y el invertido.
Este proceso se continúa las veces que sean necesarias hasta obtener un
capicúa. Por
ejemplo: 76. TIRO CON ARCO (1). ¿Cuántas flechas hacen falta para hacer justo cien puntos en el siguiente blanco? [40-39-24-23-17-16] 77. TIRO CON ARCO (2). ¿Cuántas flechas hacen falta para hacer justo cien puntos en el siguiente blanco? [11-13-31-33-42-44-46] 78. TRES CIFRAS Y EL 24. Es fácil escribir el 24 con tres ochos: (24=8+8+8). ¿Se podrá hacer lo mismo con otras tres cifras iguales? Busca todas las soluciones. 79. SOLDADOS COMBATIVOS (1). Cierto número de soldados se dirigían a combatir formando un cuadrado. En el camino se les unió un extraño, y entonces formaron exactamente 13 cuadrados menores iguales. ¿Cuántos soldados fueron a la batalla? 80. SOLDADOS COMBATIVOS (2). Cierto número de soldados se dirigían a combatir formando un cuadrado. En el camino se les unió un extraño, y entonces formaron exactamente 113 cuadrados menores iguales. ¿Cuántos soldados fueron a la batalla? 81. EL NÚMERO
987.654.321. Con el número 987.654.321 se obtienen productos con todas
sus cifras, más el 0,
permutadas: 82. DEL TEOREMA DE FERMAT. La revista Time del 7 de marzo de 1938 daba cuenta de que un tal Samuel Isaac Krieger afirmaba haber descubierto un contraejemplo para el teorema magno de Fermat, que sigue en nuestros días pendiente de confirmación. Krieger hizo saber que su ejemplo era de la forma 1324n + 791n = 1961n, siendo n un cierto entero positivo mayor que 2, que Krieger se negaba a revelar. Un periodista del New York Times, decía Time, pudo demostrar fácilmente que Krieger estaba equivocado. ¿De qué manera?. 83. A LA CAZA DEL 53. Con 5 cincos, 3 treses y los signos matemáticos +, -, x, : y () formar expresiones matemáticas que sean igual a 53. 84. DIANA (1). En una diana están los números 1, 2, 3, 5, 10, 20, 25 y 50. ¿Cómo se pueden conseguir 96 puntos con tres dobles? 85. DIANA (2). En una diana están los números 3, 5, 11, 13 y 19. ¿Cómo se pueden conseguir 50 puntos con el menor número de impactos? 86. DIANA (3). En una diana están los números 8, 9, 16, 17 y 19. ¿Cómo se pueden conseguir 100 puntos con el menor número de impactos? 87. DIANA (4). En una diana están los números 7, 9, 11, 17 y 19. ¿Cómo se pueden conseguir 100 puntos con seis impactos? 88. AABB=(CD)². Hallar un cuadrado de la forma N = aabb. 89. ABCD = (CD)². Hallar un número de cuatro cifras que sea el cuadrado del número formado por sus dos últimas cifras. 90. A²+B²+C²=D². Hallar tres cuadrados cuya suma sea otro cuadrado. 91. A3+B3+C3=D3. Hallar tres cubos cuya suma sea un cubo. 92. A²+(A+1)²=B4. Hallar dos números consecutivos tales que la suma de sus cuadrados sea una potencia de 4. 93. PRODUCTOS
SIN REPETIR CIFRA. Los siguientes productos tienen la particularidad
de que en cada uno de ellos entran cada una de las nueve primeras cifras
significativas sólo una vez. [Pueden ser útiles para comprobar si lucen
bien todas las cifras de una
calculadora] 94. CUADRADOS
SIN REPETIR CIFRA. Los siguientes cuadrados tienen todas sus cifras
diferentes: 95. PRODUCTOS
POR EL NÚMERO
8. 96. PRODUCTOS
POR EL NÚMERO
9. 97. OTROS
PRODUCTOS POR EL NÚMERO
9. 98. CON LAS CIFRAS DEL 0 AL 9 (1). Encontrar un número de diez cifras diferentes que, multiplicado por 2, dé otro número de diez cifras diferentes. 99. CON LAS
CIFRAS DEL 0 AL 9 (2). 3485x2 = 6970x1 = 6970, es el resultado menor
que se puede obtener separando los diez dígitos en dos grupos para hacer
dos productos que den el mismo resultado. Dividir los diez dígitos en dos
grupos de cinco, y disponerlos para formar dos multiplicaciones que den el
mismo producto y el más alto
posible. 100. CON LAS CIFRAS DEL 0 AL 9 (3). 78 x 345 = 26.910. Hay muchos conjuntos de números de dos, tres y cinco cifras respectivamente que tienen la particularidad mostrada en el ejemplo utilizando las diez cifras. Pero hay un conjunto, y sólo uno, en la que los números cuentan con la particularidad adicional de que el segundo es múltiplo del primero. ¿Cuáles son los tres números que buscamos? 101. CURIOSOS
CUADRADOS INVERTIDOS. Los siguientes pares de cuadrados perfectos y
sus raíces están formados por las mismas cifras escritas en orden
inverso:
103. CINCO CONSECUTIVOS. Encuentre Vd. cinco números naturales consecutivos tales que la suma de los cuadrados de los dos mayores sea igual a la suma de los cuadrados de los otros tres. 104. ORDENANDO NÚMEROS. Ordenar los números del 1 al 9 de modo que el nombre de cada número tenga una y solamente una letra en común con el nombre del anterior. 105. LA
PROPORCIÓN MALIGNA. En el ejemplo se muestra una solución a la
proporción a/b=c/d con las siguientes
restricciones: 106. BILLETES
CAPICÚAS. En la taquilla del tren hay un rollo de 100.000 billetes
numerados del 00000 al
99999. 107. CINCO CIFRAS SEGUIDAS. Poner en lugar de los * cinco cifras consecutivas (aunque no hace falta ponerlas en orden) para que se verifique la igualdad: * * x * = * * 108. SENCILLO, DOBLE Y TRIPLE. Se han acomodado los números del 1 al 9 en un cuadrado 3x3 con las siguientes condiciones:
- El de la tercera fila (576) es el triple que el de la primera (192). ¿Será Vd. capaz de encontrar otras disposiciones con esas mismas condiciones? Para animarle le doy otra: 219-438-657. 109. EL TELÉFONO
DE MI AMIGO EL VALENCIANO. Según mi amigo, es el único que no repite
ninguna cifra, no contiene el cero, es par y además las dos primeras
cifras constituyen un múltiplo de 2, las tres primeras un múltiplo de 3, y
así sucesivamente hasta el total que es múltiplo de 7. ¿Cuál es el número
de teléfono de mi
amigo? 110. EL TELÉFONO DE MI AMIGO AMERICANO. Es de 10 cifras, la primera es múltiplo de 1, las dos primeras cifras forman un múltiplo de 2, las tres primeras un múltiplo de 3, las cuatro primeras un múltiplo de 4, etc. ¿Cuál es el número de teléfono de mi amigo americano? 111. SUMAS EN
TRIÁNGULO. Disponer los números naturales del 1 al 9 formando un
triángulo y sumarlos. El número resultante de la suma ha de ser
capicúa. 9 6 4 1 7 5 3 2 ----------------- 2 7 9 7 2 112. PRODUCTOS CON LAS CIFRAS DEL 1 AL 9 (1). 159 x 48 = 7632. Encontrar otras parejas de números que, al multiplicarlos, aparecen en el resultado todos los dígitos una y sólo una vez. 113. PRODUCTOS CON LAS CIFRAS DEL 1 AL 9 (2). 16 583 742 x 9 = 149 253 678. Encontrar otros productos en los que todos los dígitos aparezcan una y sólo una vez a cada lado del signo igual. 114. PRODUCTOS CON LAS CIFRAS DEL 1 AL 9 (3). Con los nueve dígitos, sin repetirlos, formar tres números de tres dígitos, de manera que el producto de los tres dé un resultado formado también por los nueve dígitos, sin repetirse. Hay varias soluciones posibles, pero pedimos que encuentre dos: la que da el resultado máximo y la que da el resultado mínimo. 115. LOS UNOS Y LOS DOSES. Restando de 11 el 2 se obtiene 9 que es un cuadrado. Restando de 1111 el 22 se obtiene 1089 que también es un cuadrado perfecto. Lo curioso es que siempre que formemos un número con una cantidad par de unos y otro con la mitad de doses, al restar del primero el segundo obtenemos un cuadrado perfecto. ¿Cree Vd. que esta afirmación es cierta? 116. EL MENOR NÚMERO (2). ¿Cuál es el menor número que, dividido por 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8 y 9 da respectivamente los restos 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, y 8? 117. COLOCANDO SIGNOS. Coloque entre cada dos cifras el signo de la operación aritmética que sea necesario. Está permitido utilizar paréntesis. 1 2 3 4 = 1 1 2 3 4 5 = 1 1 2 3 4 5 6 = 1 1 2 3 4 5 6 7 = 1 1 2 3 4 5 6 7 8 = 1 1 2 3 4 5 6 7 8 9 = 1
SOLUCIONES DE NÚMEROS 1. NINGÚN Nº PRIMO. 201, 202, ..., 210. Otras: 321, 322, ..., 330 y 511, 512, ..., 520. 2. FRACCIONES EXTRAÑAS. Quitando en cada caso, el número repetido, el resultado es el mismo: 19/95=1/5; 26/65=2/5; 16/64=1/4. 3. TODOS LOS PRIMOS. a) Termina en 0, porque P tiene los factores 2 y 5. b) La cifra de las decenas es impar; porque si fuera par, P sería múltiplo de 4, lo que es imposible. 4. ¿QUE NÚMERO SOY? El 1001 que en numeración binaria corresponde al 9. 5.
DIVISIONES EXACTAS. 7 x 11 x 13 = 1001 >
234 x 1001 = 234234 > 234234 : 1001 = 234. Es
decir, las dos únicas operaciones que hacemos son: 1ª) Multiplicar por
1001 el número de partida. 2ª) Dividir por 1001 de forma disfrazada.
Obviamente debe dar el número de
partida. 6. LA BASE DESCONOCIDA. Sea b la base desconocida. 2b²+5b+3=136. Resolviendo b=7. 7. MENOR NÚMERO. Sea n el número desconocido. Ya que n dividido por 2 da resto 1, n+1 es divisible por 2, ya que al dividir n por 3 da resto 2, n+1 es divisible por 3, etc. De la misma manera, n+1 es divisible por 4, 5 y 6. Ahora bien, el mínimo común múltiplo de 2, 3, 4, 5 y 6 es 60. Así: n+1=60. Luego n=59. 8. PACIENCIA Y PROGRESIÓN. 219, 438, 657. 9. PRODUCTO DE CUATRO ENTEROS CONSECUTIVOS. 3.024 no acaba ni en 0 ni en 5; luego ninguno de los cuatro números es divisible por 5 ni por 10. Si los números fueran mayores que 10, el producto sería mayor que 10.000. Luego solamente tenemos como posibles soluciones 1-2-3-4 y 6-7-8-9. Evidentemente los buscados son 6-7-8-9. 10. EL MENOR CON X DIVISORES. Con 7 divisores 64. Con 8 divisores 24. 11.
LA CIFRA BORROSA. El resultado es múltiplo de cada uno de los
factores. En particular de 11. Si aplicamos el criterio de divisibilidad
por 11: 12. ACERCA DE LOS PRIMOS. Formando el factorial de 11, tenemos que: 11!+2 es divisible por 2, 11!+3 es divisible por 3, ..., 11!+10 es divisible por 10, 11!+11 es divisible por 11, ya que el factorial de 11 es divisible por 2,3,...,11, al ser factores suyos. Por lo tanto una solución (hay infinitas), es: 39916802, 39916803, ..., 39916811. 13. EL GRAN DESFILE. Hay que hallar el menor número que tiene exactamente 64 divisores. El menor número es 7560 soldados. 7560 = 23 33 5 7. El número de divisores es: (3+1)(3+1)(1+1)(1+1) = 4 4 2 2 = 64. 14.
CON 4
TRESES. 15.
CON 4
CINCOS. 16.
ESCRITURA DEL CIEN
(1). 17. EL MAYOR PRODUCTO. Por ensayo y error se llega a 631 x 542. 18. SUMA POR PRODUCTO. 29.400 = 24 25 49. Los números buscados son 24 y 25. 19. BUSCANDO UN DIVISOR. Las condiciones son sencillas, pero la tarea es terriblemente complicada. Solamente tiene dos divisores: 2.071.723 y 5.363.222.357, y su descubrimiento es una tarea sumamente ardua. 20. MAYOR Y MENOR MÚLTIPLOS DE 11. Hay que recordar el criterio de divisibilidad por 11. Un número que cumpla el enunciado es, por ejemplo: 415.276.839. Para encontrar el número mayor hay que tratar que la diferencia entre las cifras del lugar impar sea 0, (que no se puede) u 11. Así sale: 987.652.413. De forma similar el más pequeño es: 123.475.869. 21. EL NUMERO
1.089. Si las cifras del número inicial son a, b y c, con a
mayor que c. Dicho número es: 110a+10b+c. Al invertir las
cifras se obtiene: 100c+10b+a. Restándolos se obtiene:
100a-100c+c-a = 100a-100c-100+90+10+c-a =
100(a-c-1)+90+(10+c-a)
Invirtiendo sus cifras se obtiene:
100(10+c-a)+90+(a-c-1) 22. EL NÚMERO MÁGICO 495. Se obtiene el número 495. Con dos cifras se obtiene el 9. Con cuatro cifras se obtiene el 6.174. La razón .......... 23. EL MÁGICO NUMERO 68. ...... 24.
SIMPLIFICACIONES
ESCANDALOSAS. 25. CURIOSA PROPIEDAD (1). El 26 y el 27. 263=17.576. 273=19.683. 26. CON LAS CIFRAS DEL 1 AL 9. 3=17469/5823, 5=13485/2697, 6=17658/2943, 7=16758/2394, 8=25496/3187, 9=57429/6381. 27. CURIOSA PROPIEDAD (2). El 11 y el 22. 28. DELANTE Y
DETRÁS. 8 x 86 =
688. 31.
ESCRITURA DEL CIEN
(2). 34. MÉTODO ÁRABE DE MULTIPLICACIÓN. ... 35.
ERROR MECANOGRÁFICO. 2592 =
2592. 36. AÑO DE
NACIMIENTO. Sea mcdu es el año de nacimiento. 37.
MÚLTIPLO DE 9. Ninguna. Es una propiedad general de los números
naturales. 38. FECHAS INDETERMINADAS. Cada mes tiene 11 fechas ambiguas (pues la fecha 8-8-77 no es ambigua, por lo que en total hay 11x12=132. [La fecha 8-8-77, también podría considerarse «ambigua», porque no se sabe si el primer 8 significa mes o día. En este caso la solución sería 12x12=144] 39. OBREROS DE
SIEMPRE. Por lo que hace a los restos, serían posibles estas
soluciones: 82-18, 47-53,
12-88. 40. VENTA DE
PELOTAS. El número 60.377 ha de ser el producto del número de pelotas
vendidas, por el precio de cada una, que será inferior a 200. Por
consiguiente, hay que buscar un divisor de 60.377 menor que 200. Ahora
bien, la última cifra del importe total siendo un 7 ha de provenir del
producto de 1x7 ó de 3x9. No tenemos más que buscar algún número primo que
termine en cualquiera de estas cifras, divida a 60.377 y sea menor que
200. El único es 173, y, por tanto, el número de pelotas vendidas
349. 41. EL NÚMERO MÁGICO 481. Se obtiene el número ababab. Siendo ab el número de dos cifras de partida. 42. CUADRADO PERFECTO. En todo sistema de numeración de base mayor que 2, el número 121 es cuadrado perfecto. En cualquiera de estas bases 11x11=121. 43. EL MENOR TRIPLETE. 1, 5, 7. 44. QUINTA POTENCIA DE UN Nº. Para que la cifra final sea un 7 ha de serlo la del número buscado. El único número acabado en 7 que elevado a 5 da un resultado de 7 cifras es 17. [Hay que hacer notar que todo número elevado a la 5ª potencia da un resultado cuya última cifra es la misma que la de su base] 45. A BUEN FIN, MEJOR PRINCIPIO. En 9, ya que las potencias de 7 acaban en 7, 9, 3 ó 1, repitiéndose las terminaciones cada 4 factores. Dividiendo 87578 entre 4, como el resto es 2, quiere decirse que la potencia buscada acaba en 9. 46. TRES AGUJAS
EN UN PAJAR. No tres, sino un número infinito que cumplan tal
condición: 47. CABRAS Y OVEJAS. 9 cabras y 9 ovejas. Su producto 81, se transforma en el espejo en 18, que es el número de animales del rebaño. 48. A²+2=B3. 5² + 2 = 33. Fermat demostró que es la única solución. 49. EL CORRAL DE PALOMO. El señor Palomo debe haber tenido 8 ovejas en su rebaño. Ocho postes dispuestos en un cuadrado tendrán la misma superficie que diez postes dispuestos en un rectángulo con cinco postes en el lado más largo y dos en el lado más corto. 50. EL REBAÑO MÁS PEQUEÑO. mcm (2,3,4,5,6,7,8,9,10) + 1 = 2.521. 52. MAYOR CUADRADO. 9 814 072 356 = 99.066². La raíz 99.066 no se altera si se lee con el libro vuelto al revés. 53. ¿SERÁ CUADRADO? Sí. Por ejemplo: 152 843 769 = 12363², 157 326 849 = 12543², 215 384 976 = 14676². 54. LA CIFRA
PERDIDA. Como 53.928.719.937 es múltiplo de 9 el producto también lo
será, así que: 55. LOS REPOLLOS DE LA SEÑORA GARCÍA. El año pasado la señora García plantó 11.025 repollos en un cuadrado con 105 plantas por lado. Este año cosechará 11.236 repollos en un cuadrado con 106 plantas por lado. 56. REGALO MILLONARIO. Contar un millón llevaría 11 días, 13 horas, 46 minutos y 39'9 segundos. Pero al no poder dormir, eso sobrepasaría el límite de resistencia de la naturaleza humana. Contando dos días y medio sin parar se llevaría Vd. 216.000 ptas. 57. MONETARIO. La mayor cantidad que no se puede pagar es 53 centavos. Con monedas de 7 centavos tenemos cubiertas todas las terminaciones (21, 42, 63, 14, 35, 56, 7, 28, 49) desde 63 en adelante. Por lo tanto, el mayor valor que no se puede abonar es 53. 58. SE LLEGA SIEMPRE AL 1. 59. SOBRE
NÚMEROS DE DOS CIFRAS. 10x+y=y2,
10x=y(y-1). 60. SIEMPRE EXACTO: La serie que va del 2521 al 2529. 2521/1=2521, 2522/2=1261, 2523/3=841, 2524/4=631, 2525/5=505, 2526/6=421, 2527/7=361, 2528/8=316 y 2529/9=281. 61. FECHAS CAPICÚAS. Las fechas pedidas son: 29-8-92 y 2-9-92. Entre ellas hay cuatro días. 62. TRES ENTEROS CONSECUTIVOS. 3, 4 y 5. 63. VAYA BOLETO. El boleto era el 31113. 64. MCD y mcm. Dos números enteros cualesquiera. 65. EL TELÉFONO DE MI COLEGA. El teléfono es el 216-1649 66.
FACILEMA. Si xy es el número
buscado: 67. PAR = DIEZ. En el sistema de numeración de base 2, el par vale 10. En este sistema nuestro 10 (23+2) se escribe 1010. 68. CURIOSA RAÍZ CUADRADA. 11111 y resto 2468. 69. NUMEROS
PRIMOS. Supuesta formada una tabla de números primos, sea P el mayor
primo obtenido. 72.
PRODUCTOS QUE SE ESCRIBEN CON UNA SOLA CIFRA
(3). 73. LOS 4 SON
PRIMOS. A, B, C y D sólo pueden tomar valores 1, 3, 7 y 9. A y C sólo
pueden ser 1 ó 7; de lo contrario, ADDD y AACA serían divisibles por 3 por
el criterio de divisibilidad de la suma de las cifras. Por tanto, B y D
han de ser 3 ó 9. Entonces el número BCDB sólo puede
ser: 74. TRES CIFRAS Y EL 30. 30=33-3. 30=33+3. 30=4!+4+Raíz(4). 30=5x5+5. 30=9xRaíz(9)+Raíz(9). 75. LA CONJETURA CAPICÚA. ............... 76. TIRO CON ARCO (1). Seis flechas harán cien puntos si dan en 17, 17, 17, 17, 16, 16. 77. TIRO CON ARCO (2). Ocho flechas harán cien puntos si dan en 13, 13, 13, 13, 13, 13, 11, 11. 78. TRES CIFRAS Y EL 24. 24=22+2. 24=33-3. 24=(4+ 4) 4. 24=4!+4-4. 24=4!+ 4- 4. 79. SOLDADOS COMBATIVOS (1). 324 = 18². 325 = 13 x 5² 80. SOLDADOS COMBATIVOS (2). 602.176 = 776². 602.177 = 113 x 73² 81. EL NÚMERO 987.654.321. 82. DEL TEOREMA DE FERMAT. El primer número, 1324, al ser elevado a una potencia cualquiera, terminará en 6 o en 4. Los otros dos números, 731 y 1961, elevados a potencia, habrán de acabar en 1. Puesto que ningún número acabado en 6 o en 4, sumado a un número acabado en 1, puede dar un número acabado en 1, la ecuación carece de soluciones. 83. A LA CAZA
DEL 53. 84. DIANA (1). 25, 25, 20, 20, 3 y 3. 85. DIANA (2). 5, 13, 13, y 19. 86. DIANA (3). 16, 16, 16, 16, 17 y 19. 87. DIANA (4). 11, 19, 19, 17, 17 y 17. 88. AABB=(CD)². N = aabb = 1000a + 100a + 10b + b = 1100a + 11b = 11 (100a + b) = 11² n² a=7, b=4 N = 7744. 89. ABCD = (CD)². 5776 = 76². Solución única. 90.
A²+B²+C²=D². Hay infinitas
soluciones: 91. A3+B3+C3=D3. Hay infinitas soluciones: 33 + 43 + 53 = 63. 92. A²+(A+1)²=B4. La solución más breve es: 119² + 120² = 134. 93. PRODUCTOS
SIN REPETIR
CIFRA. 94. CUADRADOS
SIN REPETIR CIFRA. Aunque el interés matemático de esta cuestión es
casi nulo, se ha encontrado que el número de cuadrados perfectos con las
cifras diferentes es el
siguiente: 98. CON LAS CIFRAS DEL 0 AL 9 (1). 4.938.271.605 x 2 = 9.876.543.210. En el primero, las cifras 4, 3, 2, 1 y 0 alternan con las 9, 8, 7, 6 y 5. 99. CON LAS CIFRAS DEL 0 AL 9 (2). 915x64 = 732x80 = 58.560. 100. CON LAS CIFRAS DEL 0 AL 9 (3). 27 x 594 = 16.038. Si los números pudieran contener uno, cuatro y cinco dígitos respectivamente, habría muchas respuestas correctas, tales como 3 x 5.694 = 17.082. 101. CURIOSOS
CUADRADOS INVERTIDOS. El matemático V. Thébault ha investigado cuáles
son todos los pares que gozan de esta curiosa propiedad. Halló, por
ejemplo, el par
siguiente: 102. DOBLE SUMA. 103. CINCO
CONSECUTIVOS. Los números pedidos son: 10, 11, 12, 13 y
14. 104. ORDENANDO NÚMEROS. Ocho - Uno - Dos - Tres - Nueve - Seis - Cinco - Siete - Cuatro. Hay más soluciones. 105. LA
PROPORCIÓN MALIGNA. ¿Que si hay muchas más?
Fíjese: 106. BILLETES
CAPICÚAS. 107. CINCO CIFRAS SEGUIDAS. 13x4=52. Hay más soluciones. 108. SENCILLO, DOBLE Y TRIPLE. Otras dos: 273-546-819. 327-654-981. 109. EL TELÉFONO DE MI AMIGO EL VALENCIANO. 3-69-25-84. 110. EL TELÉFONO DE MI AMIGO AMERICANO. 3816547290. 111. SUMAS EN TRIÁNGULO. 9+682+35714=43434, 9+147+58236=60606, 9+712+58346=66366. 112. PRODUCTOS CON LAS CIFRAS DEL 1 AL 9 (1). 138x42=5796, 483x12=5796, 186x39=7254, 157x28=4396, 198x27=5346, 297x18=5346, 1738x4=6952, 1963x4=7852. 113. PRODUCTOS CON LAS CIFRAS DEL 1 AL 9 (2). 51 249 876 x 3 = 153 749 628, 32 547 891 x 6 = 195 287 346. 114. PRODUCTOS CON LAS CIFRAS DEL 1 AL 9 (3). 567 x 843 x 912 = 435.918.672 la máxima. 163 x 827 x 945 = 127.386.945 la mínima. 115. LOS UNOS Y
LOS DOSES. Es cierta. Veamos la demostración con cuatro unos y dos
doses, que se puede generalizar a cualquier número par de unos y la mitad
de
doses: 116. EL MENOR
NÚMERO (2). Sumando 1 al número pedido n, será divisible por 2, 3, 4,
5, 6, 7, 8 y 9. Luego n+1 es el mínimo común múltiplo de todos ellos, es
decir: 117. COLOCANDO
SIGNOS. 1 x 2 + 3 - 4
= 1 118.
... EDADES Los problemas relativos a edades son siempre interesantes y ejercen cierta fascinación sobre los jóvenes con inclinaciones matemáticas. 1. CARLOS EN EL AÑO 2.000. ¿Qué edad tendrá Carlos en el año 2.000 sabiendo que esa edad será igual a la suma de las cuatro cifras de su año de nacimiento? 2. LA EDAD DEL SR. GÓMEZ. "Yo tenía n años en el año n²", gustaba decir el Sr. Gómez a sus amigos. Bien, ¿cuándo nació? Hablaba en el siglo XX. 3. ¿QUIÉN ES MAYOR? Dentro de dos años mi hijo será dos veces mayor que era hace dos años. Y mi hija será dentro de tres años tres veces mayor que era hace tres años. ¿Quién es mayor, el niño o la niña? 4. POBRE PÍO. En una lápida podía leerse esta inscripción: «Aquí yace Pío Niro, muerto en 1971, vivió tantos años como la suma de las cifras del año de su nacimiento». ¿A qué edad murió? 5. LA EDAD DE JUAN. La edad de Juan es 1/6 la de su padre. La edad del padre dividida por 2, 3, 4, 6 y 8 da de resto 1; pero al dividirla por 5 da de resto cero. ¿Qué edad tiene Juan? 6. LA EDAD DE MI HIJO. Mi hijo es ahora tres veces más joven que yo. Pero hace cinco años era cuatro veces más joven. ¿Cuántos años tiene? 7. MI HERMANO Y YO. Mi hermano me lleva 8 años. ¿Dentro de cuántos años su edad será el doble que la mía, si hace tres años era el triple? 8. LAS MENINAS. El famoso cuadro Las Meninas fue pintado por Velázquez en 1656, a los 57 años de edad, después de vivir 34 años en Madrid, donde se había instalado a los 4 años de casado. ¿A qué edad se casó? 9. LA EDAD DEL CAPITÁN. El capitán dice a su hijo: tres veces el cuadrado de tu edad más 26 años dan el cuadrado de mi edad. ¿Cuál es la edad del capitán? 10. LA FAMILIA DE CARLOS. Carlos frisa en la cuarentena. Si se escribe tres veces seguidas su edad se obtiene un número que es el producto de su edad multiplicada por la de su mujer y la de sus cuatro hijos. ¿Qué edad tiene cada uno de los miembros de la familia? 11. ¿CUÁNTOS AÑOS TIENEN? Abuelo: Mi hijo tiene tantas semanas como mi nieto días. Mi nieto tiene tantos meses como yo años. Los tres juntos tenemos exactamente 100 años. ¿Qué edad tiene cada uno? 12. ¿QUÉ EDAD TENGO? Si multiplicamos por 3 los años que yo tenga dentro de 3 años y restamos el triplo de los que tenía hace tres años se obtendrán los años que tengo ahora. ¿Qué edad tengo ahora? 13. AÑOS DE SINDICATO. Pedro lleva ahora en el sindicato el doble de años que Joaquín. Hace dos años llevaba el triple de años. ¿Cuántos años lleva cada uno en el sindicato? 14. EN EL AÑO 1.994. Si en 1.974 María tuvo la cuarta parte de la edad de su madre, y en 1.984 la mitad, ¿qué edad tendrá cada una de ellas en 1.994? 15. LA ESTRELLA DE CINE. A una estrella de cine le preguntan qué edad tiene y contesta: "Si al doble de los años que tengo, le quita el duplo de los que tenía hace diez años, el resultado será mi edad actual. ¿Cuántos años tiene? 16. LOS TRES HERMANOS. La edad de Juan es mayor que la de su hermano Antonio en 5 años; Francisco tiene tantos años como los dos juntos, y entre los tres suman en total 70 años. ¿Qué edad tiene cada uno de ellos? 17. ¿CUÁNDO SALDRÁ DE
LA CÁRCEL? Un hombre fue metido en la cárcel. Para que su castigo
fuera más duro no le dijeron cuánto tiempo tendría que estar allí dentro.
Pero el carcelero era un tipo muy decente, y el preso le había caído
bien. |