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Paradojas y Falacias.
El término
"paradoja" viene del griego ("para" y "doxos")
y significa "más allá de lo creíble". Aunque el
término
paradoja tiene numerosos significados, lo interpretamos aquí como
todo aquello que, por ser
contrario a
la intuición y al sentido común, provoca un sentimiento de
sorpresa.
Tales
paradojas son de tres tipos fundamentales:
1.
Afirmaciones que aparentemente son falsas o contradictorias,
aunque en realidad son
verdaderas.
2. Cadenas
de razonamiento aparentemente impecables, que conducen a
contradicciones
lógicas por
contener algún argumento lógico no válido.
3. Argumento
lógico válido, que conduce a conclusiones contradictorias. Esto
es,
declaraciones
cuya veracidad o falsedad es indecidible.
Trata de
clasificar justificadamente, en uno de esos tres tipos, cada uno
de los siguientes problemas.
Problema 1:
El cuadrado
de la primera figura se corta en las cuatro piezas indicadas, y se
ordenan las piezas para
formar el
rectángulo de la segunda figura.
Como el área
del rectángulo es 5 x 13 = 65 cm2; y la del cuadrado es 8 x 8 =
64 cm2, tenemos que
64 = 65.
Imposible ¿verdad?
Problema 2:
Paradoja de Rusell.
Sea C
= { X / X ¹ f }.
M = { a, b, c } ÎC
Þ C
¹ f Þ C
Î C.
Consideramos
el conjunto de conjuntos A = { X / X Ï
X } ¿Es A Ï
A o A Î
A?.
Problema 3:
En el
siguiente razonamiento se demuestra que 1 = 0:
(n+1)2 = n2+2n+1
(n+1)2-(2n+1)
= n2
(n+1)2-(2n+1)-n(2n+1)
= n2-n(2n+1)
(n+1)2-(n+1)(2n+1)
= n2 -n(2n+1)
(n+1)2-(n+1)(2n+1)+(2n+1)2/4
= n2-n(2n+1)+(2n+1)2/4
[(n+1)-(2n+1)/2]2
= [n-(2n+1)/2]2
(n+1)-(2n+1)/2
= n-(2n+1)/2
n+1 = n
1 = 0
Problema 4:
Paradoja del Mentiroso.
Las
paradojas semánticas, son conocidas por la humanidad desde
tiempos muy remotos.
Una de
las más antiguas conocida es la de Epiménides
de Creta, llamada también
del mentiroso:
Analícese
la verdad o falsedad de la siguiente frase: "Esta frase es
falsa"
8 5
5 3
3 cm 5 cm
5 cm
3 cm
8
Matemáticas
Recreativas Curso 02-03
Águeda Mata
Hoja 1
Problema 5: Un
avión vuela de Madrid a Alicante, ida y vuelta. La velocidad del
avión, cuando no hay
viento, es
de 800 km/h. Sin embargo, durante los dos trayectos ha habido un
fuerte viento de 200 km/h
en la
dirección de Madrid a Alicante. ¿Cómo afectará ese viento a la
duración total del viaje de ida y
vuelta?
La respuesta
al problema parecería ser que la velocidad del avión se ve
aumentada por el viento a la
ida en la
misma medida en que es disminuida a la vuelta. Por tanto ambas
influencias se compensan y el
viaje durará
igual que si no hubiera habido viento.
Sin embargo,
si consideramos el caso extremo de que la velocidad del viento
fuera de 800 km/h el avión
no podría
regresar de Alicante y la duración del viaje de ida y vuelta sería
infinita.
¿Cómo
explicas la discrepancia entre los dos razonamientos?
Problema 6:
Se corta el
cuadrado, de lado 12, en las cinco partes indicadas, y se ordenan
los trozos para componer el
cuadrado de
la segunda figura:
Ambos son
cuadrados de igual área. Sin embargo el segundo cuadrado tiene un
agujero de 1cm2.
Problema 7: Dos
hermanos me encargaron que vendiera en el mercado dos partidas de
melones. A me
entregó 30
melones que debían ser vendidos al precio de 3 por una moneda de
500 pts; B me entregó
también 30
melones para los que estipuló un precio más caro: 2 melones por
una moneda de 500 pts.
Lógicamente,
después de efectuada la venta A tendría que recibir 10 monedas
de 500 pts y B 15. El total
de la venta
sería pues 25 monedas de 500 pts.
Para mayor
comodidad, empecé a venderlos en lotes de 5 por 1000 pts: Si tenía
que vender 3 por 500 pts
y luego 2
por 500 pts, sería más sencillo vender 5 por 1000 pts.
Vendidos los
60 melones en 12 lotes de cinco melones cada uno, recibí 24
monedas de 500 pts.
¿Cómo se
explica esta diferencia de 500 pts entre lo recibido y lo que se
supone que habría que recibir?
Problema 8: A
los filósofos griegos les gustaba referir el caso de un cocodrilo
que le arrebató su bebé a
una mujer, y
le hizo la siguiente propuesta:
"¿Voy
a comerme a tu niño?, responde correctamente y te lo devolveré
ileso".
¿Qué tiene
que contestar la madre?
Problema 9:
Según el
siguiente argumento, 2 = 1.
x2 = x x = x
+ … + x Derivando en los dos miembros de la igualdad se tiene:
2x = 1
+ … + 1 = x Þ 2x
= x Þ 2
= 1
2 5
10
5
7
5 2
9
7
5
7
10
9
3
7
5
7
Matemáticas
Recreativas Curso 02-03
Águeda Mata
Hoja 1
Problema 10:
Lineas confusas
La siguiente
figura muestra un
círculo
atravesado por 13 líneas:
Si
recortamos el dibujo y giramos,
sólo la
parte interior del círculo, un
ángulo
a =
p
7 en sentido
contrario a
las agujas
del reloj, aparece una
nueva línea,
haciendo un total de
14. Pero si
se gira en el sentido de
las agujas
del reloj desaparece una,
quedando únicamente
12
¿De dónde
ha salido la nueva
línea? ¿Dónde
se ha ido, al girarlo
en el otro
sentido?
Problema 11:
El Sr. Martínez
tiene que hacer un viaje de ida y vuelta a Teruel, y le gustaría
llevar
una
velocidad promedio de 90 km/h entre la ida y la vuelta. Tras el
viaje de ida, en el que ha hecho
muchas
paradas, calcula que su velocidad media (en la ida) ha sido de 45
km/h. ¿A qué velocidad
habrá de
hacer la vuelta para cumplir su objetivo inicial?
Problema 12:
Cuando el Sr.
Martínez fue al banco, se dio cuenta que se había quedado en números
rojos.
Sin
comprender cómo había sucedido, le explicó al Director del
Banco lo siguiente: Inicialmente tenía
100.000 ptas
en mi cuenta. Retiré sucesivamente 6 cantidades de dinero que
sumaban 100.000 ptas,
pero según
mis registros únicamente había 99.000 ptas disponibles. Las
cifras exactas fueron las
siguientes:
Retiros
Cantidad que quedaba en depósito
50.000
50.000
25.000
25.000
10.000
15.000
8.000 7.000
5.000 2.000
2.000 0
100.000
99.000
– Como ve,
aparentemente debo 1.000 ptas al banco.
–
Apreciamos su honestidad, le dijo el Director del banco, pero no
nos debe nada.
–
Entonces, ¿hay algún error en mis cifras?
– No, sus
cifras son correctas.
¿Puedes
explicar qué es lo que sucede?
Problema 13.
En la luna
de una peluquería vemos el siguiente cartel:
"Yo
afeito a todos aquellos que no se afeitan a sí mismos, y
solamente a éstos".
La pregunta
es: ¿Quién afeita al barbero?
Problema 14:
Tres hombres en
el desierto tienen 8 panes para comer, el primer hombre no tiene
ningún
pan, el
segundo tiene tres panes y el tercero tiene cinco. Al llegar a un
oasis el primer hombre quiere
pagar a los
otros dos la parte de los panes que él ha comido, toma ocho
monedas y da tres monedas al
segundo
hombre y cinco al tercero. ¿Es justo este reparto?
Matemáticas
Recreativas Curso 02-03
Águeda Mata
Hoja 1
Problema 15:
Se tiene un
ordenador que sólo puede responder "SI" o
"NO". Se le pide al ordenador que prediga si su
próxima
respuesta será "NO". ¿Qué debería contestar el
ordenador?
Problema 16:
Supongamos que
dispongo de tres cartas. Una de ellas tiene un as de oros en cada
lado,
otra un as
de copas en cada lado y la tercera un as de oros en un lado y un
as de copas en el otro. Echa las
tres cartas
en un sombrero y extrae una al azar. Supongamos que en la cara
visible tiene un as de oros. Por
tanto
solamente puede ser la carta que tiene un as de oros en cada lado,
o la que tiene un as de oros en un
lado y un as
de copas en el otro. Por tanto la probabilidad de que las dos
caras sean iguales es,
aparentemente,
igual a la de que las dos caras sean diferentes. Si me apuesto
entonces algo a que las dos
caras de esa
carta son iguales no te estoy timando. ¿O sí?
Problema 17:
Tengo un amigo
que tiene un hermano/a mellizo/a. ¿Cuál es la probabilidad de
que sea
un chico? ¿Y
si sabemos además que su hermano/a mellizo/a es menor que él?
Problema 18:
Nombra las caras
de una tarjeta como A y B.
Escribe en
la cara A la siguiente frase: A: "La frase de la cara B es
falsa",
y en la cara
B de la tarjeta escribe: B: "La frase de la cara A es
verdadera".
¿Cuál es
la frase verdadera?
Problema 19:
Aquí tenemos
tres enunciados falsos
a) 2
+ 2 = 4 b) 6
x 3 = 17 c) 8
/ 4 = 2 d) 13
- 6 = 5 e) 5
+ 4 = 9.
¿Serás
capaz de descubrir cuales son?
Problema 20:
La novela
de Don Quijote en el capítulo LI del
libro segundo habla de que Sancho Panza
es nombrado
gobernador de una "ínsula" y jura respetar la curiosa
ley del lugar a cerca de los visitantes,
que dice así:
Un guardia
debe preguntar a cada visitante "¿Para qué viene usted aquí?"
Si el viajero contesta la verdad
todo va
bien, pero si dice mentira el viajero deberá ser ahorcado allí
mismo.
Un día un
visitante contestó -¡He venido para ser ahorcado!, los guardias
se quedaron perplejos y
preguntaron
a Sancho Panza el modo de proceder. ¿Qué debe decidir Sancho
Panza para cumplir la ley?
Problema 21.
Un cuento
debido a Lord Dunsany dice lo siguiente:
Dunsany
conoce a un individuo que declara bajo solemne juramento que la
historia que va a referir es
toda la
verdad y nada más que la verdad.
Al parecer,
este hombre se tropezó con Satanás en una fiesta, cerrando con
él un trato.
Acordaron
que el hombre, que hasta la fecha había sido el peor de los
jugadores de golf de su club, haría
siempre hoyo
al primer golpe. Tras cierto número de hoyos a la primera, los
demás jugadores llegaron a
convencerse
de que el sujeto se las apañaba para hacer trampa, y lo
expulsaron del club.
El cuento
termina cuando Dunsany le pregunta qué exigió Satanás a cambio
de tan extraordinario don.
La respuesta
fue: "Extirpó de mí la capacidad de nunca más decir la
verdad".
¿Qué puede
haber de cierto en esta extraordinaria historia?
Problema 22.-
¿Es verdadera la siguiente regla?
"Toda
regla tiene su excepción"
Problema 23.
Paradoja de Grelling-Nelson.- Dividimos
todos los adjetivos en dos clases: los
autológicos,
que son los que se pueden aplicar a sí mismos, y los heterológicos,
que no se pueden aplicar
a sí
mismos. por ejemplo, "corto" se puede aplicar a sí
mismo (la palabra "corto" es corta), mientras que
para
"largo" no es posible (la palabra "largo" no
es larga).
El adjetivo
"heterológico" ¿es autológico o heterológico?
Problema
24.- ¿Puede un
ser omnipotente construir un objeto indestructible?
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