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Paradojas
Son declaraciones en apariencia verdaderas que conlleva a una
auto-contradicción lógica o a una situación que contradice el sentido
común. En palabras simples, una paradoja es 'lo opuesto a lo que uno
considera cierto'. La identificación de paradojas basadas en conceptos en
apariencia razonables y simples ha impulsado importantes avances en la
ciencia, filosofía y las matemáticas.
Entre los temas recurrentes
en las paradojas se encuentra la auto-referencia directa e indirecta, la
infinitud, definiciones circulares y confusión de niveles de
razonamiento.
La etimología de la palabra paradoja proviene de
comienzos del período renacentista europeo o los acelerados avances
científicos de Eurasia luego del 1500. Las primeras formas de la palabra
aparecieron como la palabra del latín paradoxum, pero es encontrada
también en textos griegos como paradoxon. Se encuentra compuesta por el
prefijo para-, que significa "contrario a" o "alterado", en conjunción con
el sufijo doxa, que significa "opinión". Palabras similares son ortodoxo o
heterodoxo. La paradoja del mentiroso y otras paradojas similares ya se
estudiaron en la edad media bajo el título insolubilia.
En
filosofía moral una paradoja juega un rol particularmente importante en
debates sobre ética. Por ejemplo, una admonición ética a "amar a tu
vecino" no solamente se encuentra en contraste, sino también en
contradicción, con un vecino armado que intenta asesinarte: de ser
exitoso, entonces, uno no es capaz de amarlo. Sin embargo, atacar o
reprimir al vecino agresor no es generalmente considerado amar. Esto puede
ser llamado un dilema ético. Otro ejemplo es el conflicto entre el mandato
de no robar y la responsabilidad personal de alimentar a la familia, la
cual, bajo determinadas circunstancias, no puede ser mantenida sin dinero
robado.
No todas las paradojas son iguales. Por ejemplo, la
paradoja del cumpleaños puede ser definida mejor como una sorpresa que
como una paradoja, mientras que la resolución de la paradoja de Curry es
aún un tema importante de debate.
¿es cierta una afirmación sobre algo que no
existe?
Una de las principales contribuciones de Bertrand
Russell a la filosofía del lenguaje es su teoría de las
descripciones. Se la ilustra habitualmente con la frase "el actual rey
de Francia" como se utilizaría, por ejemplo en "El actual rey de Francia
es calvo." ¿De qué se trata esta oración, teniendo en cuenta que no hay,
hoy en día, un rey en Francia? A esto se lo conoce como la Paradoja del
Rey de Francia: ¿es esta expresión verdadera?, ¿es falsa?, ¿carece de
sentido?.
BERTRAND
RUSSELL 1872 - 1970
Tenemos la certeza de que no es
verdadera, porque Francia es una república. Pero si es falsa,
entonces su negación "El actual rey de Francia no es calvo" debe ser
verdadera, lo que nos deja en el punto de partida.
¿Carecerá entonces de significado? Como se verá más
adelante, algunos filósofos sostienen esta posición, porque no denota
ningún objeto existente pero, por otro lado, parece querer decir algo que
podemos entender claramente.
Alexius Meinong ha sugerido que debemos considerar un dominio de
"entidades no existentes", de las que podemos suponer que estamos hablando
al usar expresiones como esa.
Gottlob Frege sugirió que se deben descartar como sin
sentido todas las oraciones cuyas palabras evidentemente se refieran a
cosas inexistentes. Entre otros, el problema con esta solución es que
algunas de estas oraciones, tales como "Si el actual rey de Francia es
calvo, entonces el actual rey de Francia no tiene pelo en la cabeza" no
solo no parece descabellada, sino que aparece como obviamente cierta.
Prácticamente el mismo problema surgiría si existiesen dos reyes de
Francia: ¿a cual de ellos denota la frase "el actual rey de Francia"?
David Hume por su parte considera que las cuestiones de existencia
pertenecen al ámbito de las cuestiones de hecho y que en dicho ámbito no
hay proposiciones lógicamente contradictorias, y cualquier sucesión de
enunciados es posible.
Las descripciones definidas
El problema se presenta en general con las llamadas "descripciones
definidas". Normalmente, estas incluyen todos los términos que comienzan
con "El" o "La", y a veces incluye nombres, como "Walter Scott".
Russell incluso pensaba que estos últimos no debieran ser llamados
nombres sino "descripciones definidas disfrazadas", pero los desarrollos
posteriores en general los tratan como a entidades separadas.
Algunos ejemplos de descripciones definidas son:
- La estudiante más alta de la clase
- El primer simio en viajar al espacio
Por otro lado, las "descripciones indefinidas" son aquellas de la forma
"un X".
¿Cuál es la "forma lógica" de las descripciones definidas? Para ponerlo
en términos de Frege, ¿cómo podemos parafrasearlas para mostrar que
el valor de verdad del todo depende de los valores de verdad de las
partes?
Las descripciones definidas parecen nombres que, por su propia
naturaleza, denotan exactamente una cosa, ni más ni menos. ¿Qué podemos
decir, entonces, de la oración considerada como un todo si una de sus
partes no parece estar funcionando correctamente?
.
Análisis de Bertrand Russell
La solución propuesta por Russell fue, en primer lugar, proceder al
análisis de toda la oración que incluyese una descripción definida, y no
del término aislado. Luego sugería reescribir ""El actual rey de Francia
es calvo" como "Hay un X tal que X es un actual rey de Francia, ninguna
otra cosa excepto X es un actual rey de Francia, y X es calvo". Russell
señalaba que cada descripción definida contiene de hecho una afirmación de
existencia y una afirmación de unicidad, pero que podrían ser tratadas en
forma separada del predicado que es el contenido obvio de la oración en la
que aparecen.
La oración como un todo dice, entonces, tres cosas acerca de un objeto:
la descripción definida contiene a dos de ellas y el resto de la oración
contiene la tercera. Si el objeto no existe, o si no es único, entonces la
oración entera resulta ser falsa, no carente de sentido.
La ley del tercero excluido no se viola, ya que al negar tanto "El
actual rey de Francia es calvo" como "El actual rey de Francia no es
calvo" no estamos afirmando la existencia de un X que no sea ni calvo ni
"no calvo", sino que negamos la existencia de un X que sea rey de
Francia.
.
Objeciones al análisis de Russell
Una de las principales críticas a la teoría de Russell,
desarrollada por Peter Frederick Strawson en 1950, es que las
descripciones definidas no pretenden que su objeto exista, sino que
meramente presuponen su existencia. De acuerdo con Strawson "El actual rey
de Francia es calvo" no se contradice con "Nadie es el actual rey de
Francia" porque la primera oración no incluye una afirmación existencial,
sino que intenta utilizar "el actual rey de Francia" como a una frase
denotativa o referente. Dado que no hay un rey en Francia, la oración no
realiza ninguna referencia, por lo que la oración no es ni verdadera ni
falsa, sino carente de sentido.
Keith Donnellan ha provisto una resolución sutil a la
disputa entre Russell y Strawson, puntualizando que ambos están tratando
de analizar las oraciones fuera del contexto. Siguiendo a Donnellan, hay
dos maneras distintas de usar una descripción definida: el uso "referido"
y el uso "no referido". La misma oración utilizada en dituaciones
diferentes puede significar cosas distintas. Por ejemplo, supongamos que
Smith ha sido brutalmente asesinado. Cuando la persona que descubre el
cadaver de Smith dice: "El asesino de Smith es un perturbado", podemos
analizarla como un uso "no referido" de la oración y aplicar el enfoque de
Russell. Esto se debe a que esta persona podría haber proferido
igualmente: "Quienquiera que haya matado a Smith es un perturbado"
Consideremos ahora que Jones, aunque inocente, ha sido
arrestado por el asesinato de Smith y está siendo juzgado. Cuando un
periodista observa a Jones hablando incoherentemente en el pasillo y
describe esta situación como "El asesino de Smith es un perturbado",
podemos entenderlo como un uso "referido" de la descripción definida, ya
que podríamos parafrasear la afirmación de la periodista como "La persona
a la que veo hablando incoherentemente, y que creo que asesinó a Smith, es
un perturbado."
En este segundo caso, no debemos aceptar el análisis de Russell como
correcto, ya que la oración debiera descomponerse como:
- Hay un X tal que X asesinó a Smith,
- No hay un Y, Y distinto de X, tal que Y asesinó a Smith; y
- X es un perturbado.
Si este análisis de la afirmación de la periodista fuese
correcta, dado que Jones es inocente, debieramos entender que ella quiso
decir lo mismo que el descubridor del cadaver de Smith. Es decir, que
quienquiera que haya asesinado a Smith es un perturbado. La observación
acerca de Jones hablando incoherentemente sería irrelevante para el valor
de verdad de su afirmación, lo cual no se corresponde con la intención de
la periodista. Por lo tanto, la misma oración "El asesino de Smith es un
perturbado" puede ser utilizada con significados bastante distintos en
contextos diferentes.
Hay, por consiguiente, contextos en los que "El actual
rey de Francia no es calvo" es falso, ya que no hay hoy en día un rey en
Francia, y otros contextos en los que una oración sobre una persona que el
hablante toma por el actual rey de Francia puede ser verdadera o falsa de
acuerdo con el cuero cabelludo del impostor.
.
Bibliografía
- Russell, On Denoting, texto en inglés (1905).
- Strawson, On Referring, (1950).
- Stanford Encyclopedia of Philosophy - Descriptions (en inglés
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Paradoja de Galileo
De Wikipedia
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La paradoja de
Galileo es una demostración de una de las sorprendentes propiedades de los
conjuntos infinitos. El carácter paradójico se da por poner en entredicho
el principio de que el todo es mayor que sus partes.
En su último
trabajo científico, Dos nuevas ciencias, Galileo Galilei hizo dos
afirmaciones aparentemente contradictorias acerca de los números enteros
positivos. Primero, algunos números tienen la propiedad de ser un cuadrado
perfecto (esto es, el cuadrado de un entero, desde ahora llamado
simplemente cuadrado), mientras que otros no la tienen. Por ello, el
conjunto de todos los números, incluyendo tanto a los cuadrados como a los
no cuadrados, tiene que ser mayor que el conjunto de los cuadrados. Sin
embargo, por cada cuadrado hay exactamente un número que es su raíz
cuadrada, y por cada número hay exactamente un cuadrado. Por lo tanto, no
puede haber más de un tipo que de otro. Este es uno de los primeros usos,
aunque no el primero, de demostración a través de una función
biyectiva.
Galileo llegó a la conclusión de que los conceptos de
menor, igual y mayor sólo se aplicaban a conjuntos finitos, y no tenían
sentido aplicados a conjuntos infinitos. En el siglo XIX, Cantor, usando
los mismos métodos, demostró que a pesar de que el resultado de Galileo
era correcto si se aplicaba a los números enteros, o incluso a los
racionales, la conclusión general no era cierta: algunos conjuntos
infinitos son mayores que otros, en el sentido en el que no se pueden
relacionar en una correspondencia uno-a-uno.
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David Hilbert
( 23 Enero , 1862, Wehlau, Prussia–Febrero 14,
1943, Göttingen, Alemania)
Hotel Infinito es una metáfora inventada por el
matemático alemán David Hilbert, para explicar las paradojas
relacionadas con el infinito descubiertas por el también matemático
Georg Cantor, de una manera sencilla.
Esta metáfora describe
por medio de un hotel de habitaciones infinitas, cuatro paradojas de
las encontradas por Georg Cantor. Numerosas personas han creado
historias completas sobre la metáfora de David Hilbert ([1], [2],
[3]).
Tabla de contenidos [mostrar]
1 El hotel más grande
del mundo
2 Infinito más uno
3 Dos infinitos
4 Infinito
número de infinitos
El hotel
más grande del mundo
Dos grandes hoteleros que querían construir el
hotel más grande del mundo se reunieron a dialogar sobre el asunto y
comenzaron por el primer y más obvio tema a discutir: cuántas
habitaciones tendría.
"—¿Qué te parece si construimos un
hotel con 1.000 habitaciones?
—No, porque si alguien
construyera uno de 2000 habitaciones, nuestro hotel ya no sería tan
grande. Mejor hagámoslo de 10 000.
—Pero podría ser que
alguien construyera uno de 20 000 y volveríamos a quedarnos con un
hotel pequeño. Construyamos un hotel con 1 000 000 de habitaciones,
ése sería un hotel grande.
—Y qué tal si alguien construyera
uno con..." [4]
Como siempre podría llegar a haber un hotel
más grande llegaron a la conclusión de que era necesario hacer un
hotel con habitaciones infinitas de manera que ningún otro hotel del
mundo pudiera superar su tamaño.
.
Infinito más uno
Sin
embargo en un hotel de infinitas habitaciones no todo es color de
rosa, tan pronto se abrieron las puertas de este hotel la gente
comenzó a abarrotarlo y pronto se encontraron con que el hotel de
habitaciones infititas se encontraba lleno de infinitos huéspedes.
En este momento surgió la primera paradoja, así que se tomó como
medida que los huéspedes siempre tendrían habitación asegurada pero
con el acuerdo previo de que tendrían que cambiar de habitación cada
vez que se les pidiera.
Fue entonces cuando llegó un hombre
al hotel pero éste se encontraba lleno, por supuesto esto no
preocupó al cliente pues en el Hotel Infinito se aseguraba que todos
tendrían habitación, el hombre pidió su habitación y el
recepcionista, consciente de que no habría ningún problema, tomó un
micrófono por el que avisó a todos los huéspedes que por favor
revisaran el número de su habitación, le sumaran uno y se cambiaran
a ese número de habitación, de esta manera el nuevo huésped pudo
dormir tranquilamente en la habitación número 1. Pero, ¿qué pasó
entonces con el huésped que se encontraba en la última habitación?
Sencillamente no hay última habitación.
.
Dos
infinitos
Estando el hotel lleno de infinitos huéspedes, llegó un
representante de una agencia de viajes con el corazón en la mano, su
problema era que tenía una excursión de infinitos turistas que
necesitarían hospedarse esa noche en el hotel. Se trataba por lo
tanto de hacer sitio a infinitos huéspedes en un hotel con infinitas
habitaciones, todas ellas ocupadas en aquellos momentos. Pero el
recepcionista no tuvo ningún problema en aceptar a los nuevos
turistas. Cogió el micro y pidió a todos los huéspedes que se
mudaran a la habitación correspondiente al resultado de multiplicar
por 2 el número de su habitación actual. De esa forma todos los
huéspedes se mudaron a una habitación par, y todas las habitaciones
impares quedaron libres. Como hay infinitos números impares, los
infinitos turistas pudieron alojarse sin más
problema.
Infinito número de infinitos
Estando el
hotel lleno con infinitos huéspedes, llegó otro representante de la
agencia de viajes aún más preocupado que el primero y avisó al
primero el gran problema que había ocurrido, ahora la agencia tenía
un infinito número de excursiones con un infinito número de turistas
cada una. "¡Qué enorme problema se presenta ahora!", pensaban los
representantes de la agencia de viajes, ¿cómo podrían hospedar a un
número infinito de infinitos turistas?
El recepcionista ni
siquiera se inmutó y tranquilamente tomó el micrófono y se comunicó
solamente con las habitaciones cuyo número fuera primo o alguna
potencia de éstos, les pidió elevaran el número 2 al número de la
habitación (n) en la que encontraban (2n) y se cambiaran a esa
habitación.
Entonces asignó a cada una de las excursiones un
número primo, a cada uno de los turistas de cada una de las
excursiones un número impar, de manera que la habitación de cada uno
de los turistas, se calculaba tomando el número primo de su
excursión (p) y elevarlo al número que les tocó dentro de su
excursión (t) lo que da pt.
Existiendo un número infinito de
números primos y un número infinito de numeros impares, fácilmente
se logró hospedar a un número infinito de infinitos huéspedes dentro
de un hotel que sólo tiene un número infinito de
habitaciones.
Obtenido de
"http://es.wikipedia.org/wiki/Hotel_infinito"
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Conjunto de Cantor
De Wikipedia
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El conjunto de Cantor es, además
de una curiosidad matemática, una paradoja, en el sentido usual, es decir
que contradice una intuición universal relativa a tamaño de objetos
geométricos.
Se construye así:
El primer paso es tomar el
intervalo [0, 1].
El segundo paso es quitarle su tercio interior,
es decir el intervalo abierto (1/3; 2/3).
El tercero es quitar a
los dos segmentos restantes sus respectivos tercios interiores, es decir
los intervalos abiertos (1/9; 2/9) y (7/9; 8/9).
Los pasos siguientes
son idénticos: quitar el tercio de todos los intervalos que quedan. El
proceso no tiene fin.
En la figura, se muestran las siete primeras
etapas.
El conjunto de Cantor es el conjunto de los escasos
puntos que quedan al final: 0 y 1, 1/3 y 2/3, 1/9, 2/9, 7/9 y 8/9,
1/27..., bueno, escasos no lo son, porque hay una infinidad de puntos :
los 1/3n están todos incluidos, con n describiendo los
naturales.
Sin embargo, el conjunto es pequeño cuando se considera
su longitud: el intervalo inicial [0,1] mide 1, y a cada paso, se le quita
un tercio, lo que hace que su longitud se multiplique por 2/3. la sucesión
geométrica un = (2/3)n tiende hacia cero, Por lo tanto el conjunto de
Cantor mide cero. Y es lógico, porque no contiene ningún intervalo, los
hemos destruido sistemáticamente.
La paradoja es la
siguiente:
El conjunto de Cantor está en biyección con el segmento
[0, 1]: tiene tantos elementos como él.
Si se considera la
escritura en base tres de los números, se nota que, al quitar siempre el
segundo tercio de todos los segmentos, se suprime exactamente los números
que tienen un 1 en su escritura trienal: el intervalo (1/3; 2/3)
corresponde a los números que empiezan por 0,1 (menos el 1/3 que también
se puede escribir 0, 02222222222..... en base tres); el intervalo
(1/9;2/9) corresponde a los números que empiezan por 0,01, el (7/9;8/9)
por 0,21 y así succesivamente.
La biyección se contruye así: a
cada número escrito con sólo ceros y doses se le hace corresponder el
número en base dos obtenido remplazando todos sus doses por unos. Por
ejemplo, 0,2002 en base tres (que vale 2/3 + 2/81 = 56/81) tiene como
imagen 0,1001 en base dos (que vale 1/2 + 1/16 = 9/16).
Se obtiene así
todos los números en base dos que empiezan por 0,... y que tienen ceros
o/y unos después de la coma: ¡es el intervalo [0,1]
entero!
Cuerno de Gabriel
De Wikipedia
El Cuerno de Gabriel (también llamado Trompeta de
Torricelli) es una figura ideada por Evangelista Torricelli que
tiene la característica de poseer una superficie infinita pero un
volumen finito.
Imagen del extremo izquierdo del Cuerno
de Gabriel (o Trompeta de Torricelli)
El cuerno de Gabriel se forma utilizando la gráfica de
 , con el
rango (para
evitar la asíntota en x = 0), y
rotandola en tres dimensiones alrededor del eje X.
Su descubrimiento es anterior al cálculo, pero es fácil de
verificar integrando
 y
 . Si se
considera la parte del cuerno entre x =
1 y x = a, el área
de la superficie es 2πln(a)
y el volumen
 . Cuando
a aumenta, el área no está acotada, mientras que el volumen
tiene una cota superior de π.
En el momento de su descubrimiento, fue considerado
una paradoja. Esta paradoja aparente ha sido descrita de modo
informal señalando que sería necesaria una cantidad infinita de
pintura para cubrir la superficie interior, mientras que sería
posible rellenar toda la figura con una cantidad finita de pintura y
así cubrir esa superficie. La solución de la paradoja es que la
afirmación de que un área infinita requiere una cantidad finita de
pintura presupone que una capa de pintura tiene un grosor constante.
Ésto no se cumple en el interior del cuerno, ya que la mayor parte
de la longitud de la figura no es accesible a la pintura,
especialmente cuando su diámetro es menor que el de una molécula de
pintura. Si se considera una pintura sin grosor, sería necesaria una
cantidad infinita de tiempo para que ésta llegase hasta el "final"
del cuerno. En otras palabras, llegaría un momento en el que el
espesor de la trompeta sería más pequeño que una molécula de pintura
con lo que, digamos,una gota de pintura cubriría el resto de la
suerficie de la trompeta (aunque fuera infinito). Así, que la
superficie de la trompeta sea infinita no implicaría que la cantidad
de pintura tenga que ser infinita.
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Paradojas de Zenón
De Wikipedia
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Son una serie de paradojas, ideadas por Zenón de Elea,
para apoyar la doctrina de Parménides de que las sensaciones que obtenemos
del mundo son ilusorias, y concretamente, que no existe el movimiento.
Pertenecen a la categoría de paradojas falsídicas, esto
es, que no sólo alcanzan un resultado que aparenta ser falso, sino que
además lo es. Ésto se debe a una falacia en el razonamiento, producido por
la falta de conocimientos sobre el concepto de infinito en la época en la
que fueron formuladas.
Aquiles y la tortuga
Aquiles el guerrero decide salir a competir en una
carrera contra una tortuga. Ya que corre mucho más rápido que ella, y
seguro de sus posibilidades, le da una ventaja inicial. Al darse la
salida, Aquiles recorre en poco tiempo la distancia que los separaba
inicialmente, pero al llegar allí descubre que la tortuga ya no está, sino
que ha avanzado, más lentamente, un pequeño trecho. Sin desanimarse, sigue
corriendo, pero al llegar de nuevo donde estaba la tortuga, esta ha
avanzado un poco más. De este modo, Aquiles no ganará la carrera, ya que
la tortuga estará siempre por delante de él.
Actualmente, se conoce que Aquiles realmente alcanzará a la tortuga, ya
que una suma de infinitos términos puede tener un resultado finito. Los
tiempos en los que Aquiles recorre la distancia que le separa del punto
anterior en el que se encontraba la tortuga son cada vez más y más
pequeños, y su suma da un resultado finito, que es el momento en que
alcanzará a la tortuga.
El lanzamiento de una piedra contra un árbol
Esta paradoja es una variante de la anterior.
Zenón está a ocho metros de un árbol. Llegado un momento,
lanza una piedra, tratando de dar al árbol. La piedra, para llegar al
objetivo, tiene que recorrer antes la primera mitad de la distancia que le
separa de él, es decir, los primeros cuatro metros, y tardara un tiempo
(finito) en hacerlo. Una vez llegue a estar a cuatro metros del árbol,
deberá recorrer los cuatro metros que le quedan, y para ello debe recorrer
primero la mitad de esa distancia. Pero cuando esté a dos metros del
árbol, tardará tiempo en recorrer el primer metro, y luego el primer medio
metro restante, y luego el primer cuarto de metro... De este modo, la
piedra nunca llegará al árbol.
Es posible utilizar este razonamiento, de forma análoga,
para "demostrar" que la piedra nunca llegará a salir de la mano de
Zenón.
Al igual que en la paradoja de Aquiles y la tortuga, es cierto que la
suma de distancias recorridas, (y tiempos invertidos en hacerlo) es
infinita, pero su suma es finita y por tanto la piedra llegará al
árbol.
La paradoja de la piedra puede ser planteada matemáticamente usando
series infinitas. Las series infinitas son sumatorias cuyo termino
variante (que solo puede tomar valores pertenecientes al conjunto de
números naturales) va hasta el infinito. Como introducción al concepto de
serie, se muestran un par de series sencillas y luego se aplica esa
formulación a la paradoja de Zenon.
Para sumar todos los números desde 1 a infinito
Para sumar todos los números al cuadrado desde 1 a infinito
Para plantear una serie que modele la paradoja de la piedra se hace una
serie que sume la mitad, luego la mitad de la mitad, luego la mitad de la
mitad de la mitad y así, hasta el infinito
La serie que se plantea es una serie geometrica, por lo que su suma
puede ser calculada con la siguiente fórmula:
Suma =
En el sumatorio de la paradoja de Zenon, "a" es
y r, es la razon de incremento incremento (producto), que es
. Sustituyendo
esos valores en la fórmula de suma tengo:
Suma =
Entonces se tiene que la suma de la mitad de "algo" más la mitad de la
mitad de "algo" y así sucesivamente me da 1 "algo" completo. Esto también
es aplicable a la paradoja, la mitad de la distancia, mas la mitad de la
mitad de la distancia y así sucesivamente me da la distancia entera. Por
lo tanto se concluye que, recorriendo infinitas mitades es posible
recorrer toda la distancia.
.
La paradoja de la flecha
En esta paradoja, se lanza una flecha. En cada momento en el tiempo, la
flecha está en una posición específica, y si ese momento es lo
suficientemente pequeño, la flecha no tiene tiempo para moverse, por lo
que está en reposo durante ese instante. Ahora bien, durante los
siguientes periodos de tiempo, la flecha también estará en reposo por el
mismo motivo. De modo que la flecha está siempre en reposo: el movimiento
es imposible.
Un modo de resolverlo es observar que, a pesar de que en cada instante
la flecha se percibe como en reposo, estar en reposo es un término
relativo. No se puede juzgar, observando sólo un instante cualquiera, si
un objeto está en reposo. En lugar de ello, es necesario compararlo con
otros instantes adyacentes. Así, si lo comparamos con otros instantes, la
flecha está en distinta posición de la que estaba antes y en la que estará
después. Por tanto, la flecha se está moviendo.
|
Demostración de que 1 equivale a −1
Comenzamos con
-
Ahora, los convertimos en fracciones
-
Aplicando la raíz cuadrada en ambos lados obtenemos
-
Que equivale a
-
Pero ya que
 (ver número
imaginario), podemos sustituirlo, obteniendo
-
Reordenando la ecuación para eliminar las fracciones, obtenemos
-
Y ya que i2 = − 1 tenemos
como resultado
-
Q.E.D.
Esta demostración no es válida, ya que aplica mal el siguiente
principio de las raíces cuadradas:
-
Este principio sólo es correcto cuando tanto x como y son
números positivos. En la "demostración" anterior, una de estas dos
variables es un número negativo, lo que invalida toda la demostración.
.
Demostración de que 1 es menor que 0
Supongamos que
- x < 1
Ahora tomamos el logaritmo en ambos lados de la desigualdad. Podemos
hacerlo siempre que x > 0, porque los logaritmos crecen
monótonamente. Si tenemos en cuenta que el logaritmo de 1 es 0,
obtendremos
- lnx < 0
Dividir por ln x da como resultado
- 1 < 0
Q.E.D.
El error se encuentra en el último paso, la división. Este paso es
erróneo porque el número por el que estamos dividiendo es negativo, lo que
a su vez es porque el argumento del logaritmo es menor que 1, por nuestra
suposición original. Una multiplicación o división por un número negativo
invierte el símbolo de desigualdad. En otras palabras, deberíamos obtener
1 > 0, lo que es, por cierto, correcto.
.
Demostración de que 2 equivale a 1
Sean a y b dos cantidades iguales. Se sigue que:
| a |
= |
b |
| a² |
= |
ab |
| a² - b² |
= |
ab - b² |
| (a - b)(a + b) |
= |
b(a - b) |
| a + b |
= |
b |
| b + b |
= |
b |
| 2b |
= |
b |
| 2 |
= |
1 |
Q.E.D.
La falacia se encuentra en la línea 5: el paso de la línea 4 a la 5
implica una división por a-b, que es cero ya que a equivale
a b (por la suposición). Como la división por cero no está
definida, la demostración no es válida.
.
Otra demostración de que 2 equivale a 1
- Por definición de la multiplicación, se tiene que, para x ≠
0,
- x = 1 + 1 + ... + 1 (x
términos)
- Multiplicando ambos lados por x,
- x2 = x + x +
... + x (x términos)
- Derivando con respecto a x,
- 2x = 1 + 1 + ... + 1 (x
términos)
- Ahora bien, volviendo a la primera línea, se ve que el lado derecho
de esa igualdad es x, y por lo tanto,
- 2x = x
- Dividiendo ambos lados por x (lo cual es posible, pues
x ≠ 0), se tiene
- 2 = 1
Q.E.D.
El error: en la primera línea de la supuesta demostración se asumió que
x era entero; dicha expresión no tiene sentido para números no
enteros. Por otro lado, para derivar funciones hace falta un dominio
continuo como los reales, no los enteros; para cada x entero se
tiene una ecuación correcta, pero para derivar ambos lados hace falta una
ecuación de funciones, no de enteros, y la función x + x +
... + x "con x términos" no tiene sentido en general (¿cómo
se pueden tener x términos?), con lo cual no es derivable.
.
Demostración de que a equivale a b
Comenzamos con
- a - b = c
Elevamos al cuadrado ambos lados
- a² - 2ab + b² = c²
Como (a - b)(c) = c² = ac - bc, podemos reescribirlo como
- a² - 2ab + b² = ac - bc
Si lo reordenamos, obtenemos
- a² - ab - ac = ab - b² - bc
Factorizamos ambos miembros
- a(a - b - c) = b(a - b - c)
Dividimos ambos miembros por (a - b -c)
- a
(a - b - c) = b(a - b - c)
Al final
- a = b
Q.E.D.
El truco está en que si a - b = c, entonces a - b - c = 0, por lo que
hemos realizado una división por cero, lo que invalida la
demostración.
.
Demostración de que 0 equivale a 1
Lo siguiente es una "demostración" de que 0 es igual a 1
| 0 |
= |
0 + 0 + 0 + ... |
| |
= |
(1 − 1) + (1 − 1) + (1 − 1) + ... |
| |
= |
1 + (−1 + 1) + (−1 + 1) + (−1 + 1) + ... |
(ley asociativa) |
| |
= |
1 + 0 + 0 + 0 + ... |
| |
= |
1 |
Q.E.D.
El error se encuentra en que la ley asociativa no se puede aplicar
libremente a sumas infinitas a menos que sean absolutamente convergentes.
De hecho, es posible demostrar que en cualquier campo, 0 no es igual a
1.
.
Demostración de que 0,999...(periódico) equivale a 1
Se tiene 1
de 1 se obtienen 3 partes: 1 1 1 - + - + - = 1 3 3 3
si 1 dividido en 3 es 0,333...(periódico) entonces: 0,333... + 0,333...
+ 0,333... = 1
siendo también 0,333... + 0,333... + 0,333... = 0,999...
En realidad esta afirmación es cierta, aunque la demostración sea
erronea:
Tomemos x=0,999....
10x = 9,999....
10*x - x = 9
Es decir, que
9*x = 9
de donde se deduce que
x = 1
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