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Un número
nada fàcil de imaginar que convive con la humanidad
porque aparece en la naturaleza y desde la época griega
hasta nuestros días en el arte y el diseño. Es el
llamado número de oro (representado habitualmente con la
letra griega |
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Pitágoras y el número de oro
Pitágoras (c. 582-c. 500 a.C.), filósofo y matemático griego, nació en la isla de Samos. Fue instruido en las enseñanzas de los primeros filósofos jonios Tales de Mileto, Anaximandro y Anaxímenes. Se dice que Pitágoras había sido condenado a exiliarse de Samos por su aversión a la tiranía de Polícrates. Hacia el 530 a.C. se instaló en Crotona, una colonia griega al sur de Italia, donde fundó un movimiento con propósitos religiosos, políticos y filosóficos, conocido como pitagorismo. La filosofía de Pitágoras se conoce sólo a través de la obra de sus discípulos. Los pitagóricos asumieron ciertos misterios, similares en muchos puntos a los enigmas del orfismo. Aconsejaban:
la obediencia el silencio la abstinencia de consumir alimentos la sencillez en el vestir y en las posesiones, y el hábito del autoanálisis.
Los pitagóricos creían en la inmortalidad y en la trasmigración del alma. Se dice que el propio Pitágoras proclamaba que él había sido Euphorbus, y combatido durante la guerra de Troya, y que le había sido permitido traer a su vida terrenal la memoria de todas sus existencias previas.
Euphorbus
Entre las amplias investigaciones matemáticas realizadas por los pitagóricos se encuentran sus estudios de los números pares e impares y de los números primos y de los cuadrados, esenciales en la teoría de los números.
Desde este punto de vista aritmético, cultivaron el concepto de número, que llegó a ser para ellos el principio crucial de toda proporción, orden y armonía en el universo. A través de estos estudios, establecieron una base científica para las matemáticas.
En geometría el gran descubrimiento de la escuela fue el teorema de la hipotenusa, conocido como teorema de Pitágoras, que establece que el cuadrado de la hipotenusa de un triángulo rectángulo es igual a la suma de los cuadrados de los otros dos lados. Una revuelta provocada en Crotona, por una asociación de ideas contrarias a las pitagóricas, terminó con el incendio de la sede. Se cree que Pitágoras se vio obligado a huir de Crotona y murió en Metaponto. La persecución de los pitagóricos provocó el éxodo a la Grecia Continental, dando lugar a la difusión de las ideas pitagóricas.
Ver la sección La trigonometría y el número de oro. |
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) o
también sección áurea, proporción áurea o razón áurea.
La
estrella pentagonal o pentágono estrellado era, según la
tradición, el símbolo de los seguidores de Pitágoras.
Los pitagóricos pensaban que el mundo estaba configurado
según un orden numérico, donde sólo tenían cabida los
números fraccionarios. La casualidad hizo que en su
propio símbolo se encontrara un número raro: el numero
de oro. 
Por
ejemplo, la relación entre la diagonal del pentágono y
su lado es el número de oro.
También podemos
comprobar que los segmentos QN, NP y QP están en
proporción áurea.
= 3,14159....(Pi)
que relaciona la longitud de la circunferencia con
su diámetro ( Longitud = 2.
.radio=
.diámetro).
.
= 1,61803...
(Fi), llamado número de oro y que es la inicial del
nombre del escultor griego Fidias que lo tuvo
presente en sus obras.
que da como
resultado el número de oro.
.
por
lo que la proporción entre los dos lados es
(nuestro número de
oro).
En
efecto, situemos los rectángulos en unos ejes de
coordenadas con origen en el punto A. Las coordenadas de
los tres puntos serán entonces:
y
son proporcionales:
| t1 | t2 | t3 | t4 | t5 | t6 | t7 | t8 | t9 | t10 | t11 | t12 | t13 | t14 |
| 1 | 1 | 2 | 3 | 5 | 8 | 13 | 21 | 34 | 55 | 89 | 144 | 233 | 377 |
-
Si se suman los cuatro primeros términos y añades 1, te sale el sexto (1+1+2+3 + 1 = 8). Si sumas los cinco primeros términos y añades 1, te sale el séptimo (1+1+2+3+5 + 1 = 13).
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Si se suman los tres primeros términos que ocupan posición impar (t1,t3,t5) sale el sexto término (t6), (1+2+5 = 8).
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-
Si se suman los cuatro primeros términos que ocupan posición impar (t1,t3,t5,t7) sale el octavo término (t8), (1+2+5+13 = 21).
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Si se suman los tres primeros términos que ocupan posición par (t2,t4,t6) y añades 1, sale el séptimo término (t7), (1+3+8 + 1 =13).
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-
Si se suman los cuatro primeros términos que ocupan posición par (t2,t4,t6,t8) y añades 1, sale el noveno término (t9), (1+3+8+21 + 1 =34).
-
Aún las hay más difíciles de imaginar!
-
Tomemos dos términos consecutivos, por ejemplo: t4=3 y t5=5; elevando al cuadrado y sumando: 32+52=9+25=34 que es el noveno (4+5) término de la sucesión. Tomando t6=8 y t7=13; elevando al cuadrado y sumando: 82+132=64+169=233 que es el (6+7) decimotercero término de la sucesión.
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-
Pero si elevamos al cuadrado los cinco primeros términos y los sumamos, sale el producto del quinto y el sexto término: 12+12+22+32+52=40=5*8. Si hacemos lo mismo para los seis primeros términos, sale el producto del sexto y el séptimo término:12+12+22+32+52+82=104=8*13.
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Y quizás la más sorprendente sea la siguiente propiedad. Dividamos dos términos consecutivos de la sucesión, siempre el mayor entre el menor y veamos lo que obtenemos:
1 :
1 = 1
2 : 1 = 2
3 : 2 = 1´5
5 : 3 = 1´66666666
8 : 5 = 1´6
13 : 8 = 1´625
21 :13 = 1´6153846....
34 :21 = 1´6190476....
55 :34 = 1´6176471....
89 :55 = 1´6181818....
Al
tomar más términos de la sucesión y hacer su cociente
nos acercamos al número de oro. Cuanto mayores son los
términos, los cocientes se acercan más a
=1,61803.... En
lenguaje matemático,
Efectivamente,
El número de oro en el Arte, el diseño y la naturaleza
El número áureo aparece, en las proporciones que guardan edificios, esculturas, objetos, partes de nuestro cuerpo, ...
Un ejemplo de rectángulo áureo en el arte es el alzado del Partenón griego.
En la
figura se puede comprobar que AB/CD=
.
Hay más cocientes entre sus medidas que dan el número
áureo, por ejemplo: AC/AD=
y CD/CA=
.
Hay un
precedente a la cultura griega donde también apareció el
número de oro. En La Gran Pirámide de Keops, el
cociente entre la altura de uno de los tres triángulos
que forman la pirámide y el lado es 2
.
Ya vimos que el cociente entre la diagonal de un pentágono regular y el lado de dicho pentágono es el número áureo. En un pentágono regular está basada la construcción de la Tumba Rupestre de Mira en Asia Menor.
Ejemplos de rectángulos áureos los podemos encontrar en las tarjetas de crédito, en nuestro carnet de identidad y también en las cajetillas de tabaco.
Unas proporciones armoniosas para el cuerpo, que
estudiaron antes los griegos y romanos, las plasmó en
este dibujo Leonardo da Vinci. Sirvió para
ilustrar el libro La Divina Proporción de
Luca Pacioli editado en 1509.
En dicho libro se describen cuales han de ser las proporciones de las construcciones artísticas. En particular, Pacioli propone un hombre perfecto en el que las relaciones entre las distintas partes de su cuerpo sean proporciones áureas. Estirando manos y pies y haciendo centro en el ombligo se dibuja la circunferencia. El cuadrado tiene por lado la altura del cuerpo que coincide, en un cuerpo armonioso, con la longitud entre los extremos de los dedos de ambas manos cuando los brazos están extendidos y formando un ángulo de 90º con el tronco. Resulta que el cociente entre la altura del hombre (lado del cuadrado) y la distancia del ombligo a la punta de la mano (radio de la circunferencia) es el número áureo.
El
cuadro de Dalí Leda atómica, pintado en 1949,
sintetiza siglos de tradición matemática y simbólica,
especialmente pitagórica. Se trata de una filigrana
basada en la proporción áurea, pero elaborada de tal
forma que no es evidente para el espectador. En el
boceto de 1947 se advierte la meticulosidad del análisis
geométrico realizado por Dalí basado en el pentagrama
místico pitagórico.
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El uso de la proporción áurea produce una
estilización de las figuras que busca la
"belleza divina". En las siguientes imágenes podemos observar dicha proporción áurea. |
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Cineva |
Nacimiento de Venus |
Raquel Welch |
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En
la naturaleza, aparece la proporción áurea también en el
crecimiento
de las plantas, las piñas, la distribución de las hojas
en un tallo, dimensiones de insectos y pájaros y la
formación de caracolas.
La espiral logarítmica
Si tomamos un rectángulo áureo ABCD y le sustraemos el cuadrado AEFD cuyo lado es el lado menor AD del rectángulo, resulta que el rectángulo EBCF es áureo. Si después a éste le quitamos el cuadrado EBGH, el rectángulo resultante HGCF también es áureo. Este proceso se puede reproducir indefinidamente, obteniéndose una sucesión de rectángulos áureos encajados que convergen hacia el vértice O de una espiral logarítmica.
Esta curva ha cautivado, por su belleza y propiedades, la atención de matemáticos, artistas y naturalistas. Se le llama también espiral equiangular (el ángulo de corte del radio vector con la curva es constante) o espiral geométrica (el radio vector crece en progresión geométrica mientras el ángulo polar decrece en progresión aritmética). J. Bernoulli, fascinado por sus encantos, la llamó spira mirabilis, rogando que fuera grabada en su tumba.
La espiral logarítmica vinculada a los rectángulos áureos gobierna el crecimiento armónico de muchas formas vegetales (flores y frutos) y animales (conchas de moluscos), aquellas en las que la forma se mantiene invariante. El ejemplo más visualmente representativo es la concha del nautilus.
La trigonometría y el número de oro
Consideremos un pentágono regular en el cual se han dibujado las diagonales.
En
esta figura sólo aparecen tres ángulos diferentes. Miden
36º, 72º y 108º. La relación entre estos ángulos es la
siguiente: 72 es el doble de 36 y 108 es el triple de
36. Hay varios tipos diferentes de triángulos isósceles,
de los cuales seleccionamos tres: los triángulos ABE,
ABF y AFG. El resto de triángulos son semejantes a
alguno de estos y no aportan información adicional.
Finalmente, hay cuatro segmentos diferentes en estos
triángulos, que llamaremos: BE=a, AB=AE=b, AF=BF=AG=c y
GF=d. Las longitudes de estos segmentos cumplen:
a>b>c>d.
Consideremos cada uno de estos triángulos por separado y apliquemos el teorema del seno.
Triángulo ABE
Triángulo ABF
Triángulo AFG
Como 72º=180º-108º, se verifica que sen72º=sen108º.
En consecuencia podemos establecer las siguientes proporciones:
Es decir, una vez ordenadas las longitudes de los cuatro segmentos de mayor a menor, la razón entre cada una de ellas y la siguiente es constante e igual a nuestro número de oro.
Tomando la primera de las proporciones, teniendo en cuenta que c=a-b y haciendo b=1:
(el numero de oro)
Es decir, dos de estos segmentos consecutivos cumplen la proporción áurea.
Como consecuencia, se
verifica
.
Curiosidades áureas
Potencias. Los números
guardan unas curiosas
relaciones entre si. Efectivamente, podemos deducirlas a
partir de la ecuación
que tiene como solución el número de oro:
Potencias 2. Consideremos
la sucesión de término general:
.
Si calculamos los primeros términos, podemos observar
una curiosa relación entre ellos. Calculando primero
algunas potencias
podemos concluir que la sucesión dada se convierte en
Evidentemente, cada término a partir del tercero se puede obtener sumando los dos anteriores. Lo curioso es que esta relación es la misma que se verifica en la sucesión de Fibonacci.
Limites. Comprobemos que
los siguientes límites dan como resultado el número de
oro:
1 2
1. Llamemos "L" al valor
del límite. Fácilmente se comprueba que se verifica la
ecuación
.
Elevando al cuadrado los dos miembros y pasando todos
los términos a la izquierda se obtiene la ecuación final
.
Una de las soluciones de esta ecuación es nuestro número
de oro
.
2. Sea "M" el valor del
límite. Se comprueba la relación
.
Quitando denominadores y pasando todos los términos a la
izquierda se obtiene la ecuación
cuya solución positiva es el número de oro.
La sucesión de Fibonacci
1, 1, 2, 3, 5, 8, 13, 21, 34, 55, 89, 144....
Fibonacci. 1170 - 1250
Leonardo Pisano
es más conocido por su apodo Fibonacci. Jugó un rol muy
importante al revivir las matemáticas antiguas y realizó
importantes contribuciones propias.
Fibonacci nació en Italia pero fue educado en África del Norte
donde su padre ocupaba un puesto diplomático. Viajó mucho
acompañando a su padre, así conoció las enormes ventajas de los
sistemas matemáticos usados en esos países.
Liber abaci, publicado en el 1202 después de retornar a Italia,
esta basado en trozos de aritmética y álgebra que Fibonacci
había acumulado durante sus viajes. Liber abacci introduce el
sistema decimal Hindú-Arábico y usa los números arábicos dentro
de Europa.
Un problema en Liber abaci permite la introducción de los
números de Fibonacci y la serie de Fibonacci por las cuales
Fibonacci es recordado hoy en día. El Diario Trimestral de
Fibonacci es un moderno periódico dedicado al estudio de las
matemáticas que llevan estas series.
Otros libros de Fibonacci de mayor importancia es Prácticas de
Geometría en el año 1220 que contiene una extensa colección de
geometría y trigonometría. También en Liber quadratorum del año
1225 aproximó las raíces cúbicas obteniendo una respuesta que en
la notación decimal es correcta en 9 dígitos.
"Mis Prácticas de geometría" del año 1220 entrega una
compilación de la geometría al mismo tiempo que introduce algo
de trigonometría.
A finales del siglo XII, la república de Pisa es una gran potencia comercial, con delegaciones en todo el norte de Africa. En una de estas delegaciones, en la ciudad argelina de Bugía, uno de los hijos de Bonaccio, el responsable de la oficina de aduanas en la ciudad, Leonardo, es educado por un tutor árabe en los secretos del cálculo posicional hindú y tiene su primer contacto con lo que acabaría convirtiéndose, gracias a él, en uno de los más magníficos regalos del mundo árabe a la cultura occidental: nuestro actual sistema de numeración posicional.
Leonardo de Pisa, Fibonacci, nombre con el que pasará a la Historia, aprovechó sus viajes comerciales por todo el mediterráneo, Egipto, Siria, Sicilia, Grecia..., para entablar contacto y discutir con los matemáticos más notables de la época y para descubrir y estudiar a fondo los Elementos de Euclides, que tomará como modelo de estilo y de rigor.
De su deseo de poner en orden todo cuánto había aprendido de aritmética y álgebra, y de brindar a sus colegas comerciantes un potente sistema de cálculo, cuyas ventajas él había ya experimentado, nace, en 1202, el Liber abaci, la primera summa matemática de la Edad Media.
En él aparecen por primera vez en Occidente, los nueve cifras hindúes y el signo del cero. Leonardo de Pisa brinda en su obra reglas claras para realizar operaciones con estas cifras tanto con números enteros como con fracciones, pero también proporciona la regla de tres simple y compuesta, normas para calcular la raíz cuadrada de un número, así como instrucciones para resolver ecuaciones de primer grado y algunas de segundo grado.
Pero Fibonacci es más conocido entre los matemáticos por una curiosa sucesión de números:
1; 1; 2; 3, 5; 8; 13; 21; 34; 55; 89....
que colocó en el margen de su Liber abaci junto al conocido "problema de los conejos" que más que un problema parece un acertijo de matemáticas recreativas. El problema en lenguaje actual diría:
"Una pareja de conejos tarda un mes en alcanzar la edad fértil, a partir de ese momento cada vez engendra una pareja de conejos, que a su vez, tras ser fértiles engendrarán cada mes una pareja de conejos. ¿Cuántos conejos habrá al cabo de un determinado número de meses?."
En este gráfico vemos que el número de parejas a lo largo de los meses coincide con los términos de la sucesión.
Veamos con detalle estos números. 1; 1; 2; 3, 5; 8; 13; 21; 34; 55; 89, 144....
Es fácil ver que cada término
es la suma de los dos anteriores. Pero existe entre ellos otra
relación curiosa, el cociente entre cada término y el anterior
se va acercando cada vez más a un número muy especial, ya
conocido por los griegos y aplicado en sus esculturas y sus
templos: el número áureo. 
=1.618039....
Pero
los números de la sucesión de Fibonacci van a sorprender a todos
los biólogos.
Como muy bien nos enseña la filotaxia, las ramas y las hojas de las plantas se distribuyen buscando siempre recibir el máximo de luz para cada una de ellas. Por eso ninguna hoja nace justo en la vertical de la anterior. La distribución de las hojas alrededor del tallo de las plantas se produce siguiendo secuencias basadas exclusivamente en estos números.
El número de espirales en numerosas flores y frutos también se ajusta a parejas consecutivas de términos de esta sucesión: los girasoles tienen 55 espirales en un sentido y 89 en el otro, o bien 89 y 144.
Las margaritas presentan las semillas en forma de 21 y 34 espirales.
Y cualquier variedad de piña presenta siempre un número de espirales que coincide con dos términos de la sucesión de los conejos de Fibonacci, 8 y 13; o 5 y 8.
Parece que el mundo vegetal tenga programado en sus códigos genéticos del crecimiento los términos de la sucesión de Fibonacci.
Rectángulos de Fibonacci y espiral de Durero
Podemos construir una serie de rectángulos utilizando los números de esta sucesión.
Empezamos con un cuadrado de lado 1, los dos primeros términos de la sucesión.
Construimos otro igual sobre él. Tenemos ya un primer rectángulo Fibonacci de dimensiones 2 x1.
Sobre el lado de dos unidades construimos un cuadrado y tenemos un nuevo rectángulo de 3x2.
Sobre el lado mayor construimos otro cuadrado, tenemos ahora un rectángulo 5x3, luego uno 5x8, 8x13, 13x21...
Podemos llegar a rectángulo de 34x55, de 55x89...
Cuanto más avancemos en este proceso más nos aproximamos al rectángulo áureo.
Hemos construido así una sucesión de rectángulos, cuyas dimensiones partiendo del cuadrado (1x1), pasan al rectángulo de dimensiones 2x1, al de 3x2, y avanzan de forma inexorable hacia el rectángulo áureo.
Si unimos los vértices de estos rectángulos se nos va formando una curva que ya nos resulta familiar. Es la espiral de Durero. La espiral de nuestro logotipo.
Una espiral, que de forma bastante ajustada, está presente en el crecimiento de las conchas de los moluscos, en los cuernos de los rumiantes... Es decir, la espiral del crecimeinto y la forma del reino animal.
Fibonacci sin pretenderlo había hallado la llave del crecimiento en la Naturaleza.
